Gli integrali per parti - Spiegazione

Supponiamo di dover calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, ovvero

$$\int f(x)g(x)dx$$ Se conosciamo:

• La primitiva di una delle due funzioni
• La derivata dell'altra funzione

allora possiamo utilizzare l'integrazione per parti. $$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)$$ intendendo con F(x) la primitiva di $f(x)$ e con g'(x) la derivata di $g(x)$.

Esempio

Supponiamo di dover calcolare

$$\int ln(x)dx$$ ovviamente non abbiamo la minima idea, poiché è un integrale non noto. La sua derivata però, è ben conosciuta: $1/x$.

Riscriviamo la funzione integranda, $ln(x)$, come $ln(x)*1$. Ovviamente, trattandosi di una moltiplicazione per 1, nulla è cambiato.

Quindi

$$\int ln(x)\cdot 1dx$$ Adesso, riprendiamo la formula dell’integrale per parti: $$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)$$ Conosciamo la derivata di ln(x), ovvero $1/x$
e la primitiva di 1, ovvero $x$
$$\int 1 \cdot ln(x)dx = x \cdot ln(x)-\int x \cdot \frac{1}{x}$$ considerando f(x)=1 e g(x)=ln(x).

Risolvendo si ottiene

$$x \cdot ln(x)-\int x \cdot \frac{1}{x}=x \cdot ln(x)-\int 1 dx$$ Ovvero $$x \cdot ln(x)-x$$ che è l’integrale di ln(x), calcolato mediante l’integrazione per parti.

Dimostrazione della formula dell’integrazione per parti

La dimostrazione si ottiene a partire dalla formula di derivazione del prodotto.
Si consideri il prodotto di due funzioni, che supponiamo ovviamente derivabili,

$$y=f(x)g(x)$$ Per la formula di derivazione del prodotto, $$y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ Ovvero, sostituendo ad y = f(x)g(x) $$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ E, calcolando l’integrale dei due membri, $$\int f(x)g(x)' dx= \int f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ Ora, poiché l’integrale della derivata di f(x)g(x) è proprio... f(x)g(x), e a destra l’integrale può essere spezzato: $$f(x)g(x)= \int f'(x)g(x)+ \int f(x)g'(x)$$ Riordinando abbiamo $$\int f'(x)g(x)dx =f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx$$ Questo dimostra già la formula di integrazione. Per usare una notazione più facile, sostituiamo f(x) al posto di f’(x) e F(x) al posto di f(x) [notate che la relazione primitiva/derivata è rimasta la medesima, abbiamo soltanto cambiato nome!]
E quindi: $$\int f(x)g(x) dx =F(x)g(x) - \int F(x)g'(x)dx$$ c.v.d.