Gli integrali fratti con delta minore di zero - Spiegazione

Preparazione alla risoluzione

Controlliamo che il grado del denominatore sia minore del grado del numeratore: se non fosse, una divisione tra polinomi risolverà il problema.

Quindi, numeratore di primo grado, (o un numero), e denominatore di secondo grado con delta maggiore di zero. Vediamo come risolverli.
Se al denominatore il delta è minore di zero, non esistono radici reali (x₁ e x₂) per cui il trinomio possa essere scomposto.

Distinguiamo quindi due casi:

Primo caso: Al numeratore c’è un numero

$$\int \frac{5}{3x^2-3x+6}dx$$ Si cerca di costruire al denominatore un quadrato perfetto. Per farlo, è sempre opportuno raccogliere il denominatore e la a e portarla fuori dall’integrale, subito.

$$\frac{5}{3} \int \frac{1}{x^2-x+2}dx$$ Adesso, tentiamo di costruire il quadrato perfetto con il primo termine $x^2$ e il secondo $-x$:
• il primo termine è 1
• il secondo è -1 ed è il doppio prodotto del primo termine per il terzo: $-1=2 \cdot 1 \cdot c$
• Quindi c= $\frac{1}{2}$ .
Notiamo che $(x-\frac{1}{2})^2$=$x^2-x+\frac{1}{4}$, quindi, per mantenere l’equazione identica, dobbiamo togliere $\frac{1}{4}$ $$\frac{5}{3} \int \frac{1}{x^{2}-x+\frac{1}{4}- \frac{1}{4} + \frac{8}{4}} dx$$ $$\frac{5}{3} \int \frac{1}{( x^{2}-x+\frac{1}{4} )- \frac{1}{4} + \frac{8}{4}} dx$$ $$\frac{5}{3} \int \frac{1}{( x - \frac{1}{2} )^{2}+ \frac{7}{4}}dx$$ Un integrale del genere è un integrale noto: $$\int \frac{1}{(x+k)^2+m^2)}dx = \frac{1}{m} \arctan \frac{x+k}{m}$$ Per cui, applicando la formula al nostro caso: $$\frac{5}{3} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{4}}dx = \frac{5}{3}(\frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{2}} \arctan ( \frac{x-\frac {1}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}))$$ Ovvero $$\frac{10}{3 \sqrt{7}} \arctan \frac {2x-1}{\sqrt{7}} + C$$

Secondo caso: Al numeratore c’è un polinomio

$$\int \frac{3x+6}{2x^2-3x+3}dx$$ In questo caso si procede costruendo al numeratore la derivata del denominatore.

La derivata di 2x^2-3x+3 è 4x-3

Adesso, al numeratore abbiamo 3x+6
Ma se moltiplichiamo il numeratore per $\frac{4}{3}$ e poi portiamo fuori un $\frac{3}{4}$ abbiamo ottenuto $$\frac{3}{4} \int \frac{4x+8}{2x^2-3x+3}dx$$ Adesso "sistemiamo" il termine noto (8) sottraendo 11, e poi riaggiungendolo (non dobbiamo modificare niente!) ovvero: $$\frac{3}{4} \int \frac{4x-3+11}{2x^2-3x+3}dx$$ Dividiamo i due integrali $$\frac{3}{4} ( \int \frac{4x-3}{2x^2-3x+3}dx + \int \frac{11}{2x^2-3x+3}dx )$$ Adesso, il primo integrale è della forma $\int \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln f(x)$,
quindi: $$\frac{3}{4} ( \ln (2x^2-3x+3) + \int \frac{11}{2x^2-3x+3}dx )$$ Il secondo integrale è della forma $\int \frac{n}{f(x)}$ che, abbiamo visto nel caso precedente, si risolve in: $$\int \frac{11}{2x^2-3x+3} dx = \frac{11}{2} \int \frac{1}{x^2-\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}}$$ Adesso costruiamo il quadrato perfetto
• il primo termine è 1
• il secondo è $-\frac{3}{2}$ ed è il doppio prodotto del primo termine per il terzo: $-\frac{3}{2}=2 \cdot 1 \cdot c$
Quindi c= $-\frac{3}{4}$ .
Notiamo che $(x-\frac{3}{4})^2$=$x^2- \frac{3}{2} x+\frac{9}{16}$, quindi, per mantenere l’equazione identica, dobbiamo togliere $\frac{9}{16}$ $$\frac{11}{2} \int \frac{1}{x^2-\frac{3}{2}x+ \frac{9}{16} - \frac{9}{16} + \frac{3}{2}}$$ $$\frac{11}{2} \int \frac{1}{(x^2-\frac{3}{2}x+ \frac{9}{16}) - \frac{9}{16} + \frac{3}{2}}$$ $$\frac{11}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{3}{4})^{2} - \frac{15}{16}}$$ Che sappiamo già risolvere: $$\frac{11}{2} \cdot \frac{1}{\frac {\sqrt{15}}{4}} \arctan \frac{x-\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$$ Quindi l’integrale completo: $$\int \frac{3x+6}{2x^2-3x+3}dx = \frac{3}{4} ( \ln (2x^2-3x+3) + \frac{22}{\sqrt{15}} \arctan \frac{4x-3}{\sqrt{15}})$$ Per cui

Gli integrali con il delta minore di zero con un polinomio al denominatore si risolvono sempre nella forma $$A \ln (ax^2+bx+c) + B \arctan (\frac{x+k}{m})$$