Mathematikoi

Definizione

Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti dei quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi.

L'ellisse. la somma delle sidtanze da due punti detti fuochi è costante
Come potete vedere la figura la somma delle distanze del punto blu dai fuochi (3,5 cm + 1 cm = 4,5 cm) e quella del punto rosso (2,5 cm + 2 cm = 4,5 cm) sono uguali.

Uno dei metodi per costruire un’ellisse -probabilmente questa informazione non vi importerà- è detto metodo del giardiniere, poiché è utilizzato dai giardinieri quando vogliono disegnare aiuole ellittiche sul terreno. Il metodo del giardiniere
Il metdo del giardiniere: una corda tesa viene fissata a due pali (i fuochi dell’ellisse) e avvolta ad un bastone per tracciare. Il bastone non potrà allontanarsi oltre alla lunghezza della corda e quindi -che è la solita cosa- oltre la somma delle distanze dai due pali.

Costruzione dell’ellisse

Su un piano cartesiano, invece, la costruzione dell’ellisse avviene utilizzando le relazioni del Teorema di Pitagora.

Ci limiteremo per ora ad un’ellisse simmetrica rispetto all’asse delle y, con i fuochi \(F_{1}\) ed \(F_{2}\) sull’asse delle x.
Un’ellisse di questo genere avrà quindi i fuochi in posizione \((-c;0\) e \(c;0\). La distanza tra i due fuochi è, quindi, \(2c\).

Chiameremo 2a la somma delle lunghezze che, abbiamo detto, dev’essere costante. $$F_{1}P+F_{2}P=k$$ $$F_{1}P+F_{2}P=2a$$ Adesso, per calcolare \(F_{1}P\) ed \(F_{2}P\) si utilizza il teorema di Pitagora_ la figura mostra i due cateti considerati:
$$\sqrt{(x_{F_{1}}+x)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x_{F_{2}}-x)^2+y^{2}}=2a$$ Togliamo le radici spostando a destra un radicale… $$\sqrt{(x_{F_{1}}+x)^{2}+y^{2}}=- \sqrt{(x_{F_{2}}-x)^2+y^{2}} + 2a$$ … ed elevando al quadrato entrambi i membri ricordanco che abbiamo chiamato -c = xF1 e c = xF2 $$(c+x)^{2}+y^{2} = (c-x)^2+y^{2} + 4a^2 -4a \sqrt{(x-c)^2+y^{2}}$$ Risolviamo, $$(c^2+x^2+2cx+y^2= c^2-2cx+x^2+y^2+4a^2-4a \sqrt{(x-c)^2+y^{2}}$$ Semplifichiamo $$2cx=-2cx+4a^2-4a \sqrt{(x-c)^2+y^{2}}$$ $$4cx=4a^2 -4a\sqrt{(x-c)^2+y^{2}}$$ $$cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^{2}}$$ Eleviamo al quadrato $$c^2x^2+a^4-2a^2cx=a^2((x-c)^2+y^{2})$$ $$c^2x^2+a^4-2a^2cx=a^2(x^2-2xc+c^2+y^{2})$$ $$x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)$$ Chiamiamo adesso b2=a2-c2: osserviamo che questa operazione è lecita poiché sicuramente \(a > c\), essendo c la distanza di un fuoco dal centro e a la semidistanza focale (nell’approfondimento verrà dimostrata questa ipotesi)

Quindi $$b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$$ Dividiamo tutti i termini per \(a^2b^2\) $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ che è l’equazione canonica di un’ellisse con centro nell’origine.

Cosa significano a e b?

Vediamo cosa indicano a e b che per ora abbiamo solamente definito mediante delle equazioni.

Intersechiamo la nostra ellisse con gli assi cartesiani: $$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ y=0 \end{matrix}\right. = \left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{a^2}=1\\ - \end{matrix}\right.= \left\{\begin{matrix} x=\pm a\\ -\end{matrix}\right.$$ Quindi: a rappresenta la misura del semiasse maggiore e +a e -a sono, rispettivamente, i punti di incontro dell’ellisse con l’asse x. $$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x=0 \end{matrix}\right. = \left\{\begin{matrix} \frac{y^2}{b^2}=1\\ - \end{matrix}\right.= \left\{\begin{matrix} y=\pm b\\ -\end{matrix}\right.$$ Quindi: b è la misura del semiasse maggiore e +b e -b sono i punti di incontro dell’ellisse con l’asse y.
L'equazione dell'ellisse e i punti di incontro con l'asse x e y del piano cartesiano

Approfondimento: perché b2=a2-c2?

Nella dimostrazione della formula analitica dell'ellisse abbiamo chiamato b2=a2-c2. Per fare questo occorre dimostrare che a2-c2 sia un numero positivo (un b2 non può essere uguale a un numero negativo, perché è un quadrato, e i quadrati sono sempre positivi) e che quindi, a2 > c2.

Dimostriamolo

Abbiamo definito 2a la somma delle distanze di un punto dai due fuochi. Consideriamo il punto P (0, f(0)): in figura sono tracciate le due distanze dai fuochi
Dimostrazione di b2 = a2 - c2 nell’ellisse in un piano cartesiano.
Poiché l’asse y è asse di simmetria dell’ellisse, allora le due distanze saranno uguali e quindi, ognuna sarà uguale a \(\frac{1}{2}2a\) ovvero Pc=a.
Adesso consideriamo il triangolo P0c: è rettangolo poiché gli assi sono ortogonali tra loro e il segmento Pc (ovvero a) è l’ipotenusa.

Poiché è’ipotenusa, a è più grande degli altri due cateti (in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è il lato più lungo!) e se è più grande degli altri due cateti è più grande anche di 0c, ovvero della distanza c del fuoco. Quindi \(a > c\) e, per conseguenza \(a^2 > c^2\).

c.v.d.