Mathematikoi

Definizione

Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto O detto centro.

La definizione, molto formale, in realtà afferma una cosa molto semplice:

E’ chiamata circonferenza, quell’insieme di punti che sono tutti alla solita distanza da un altro punto chiamato O e detto "centro".

Circonferenza
L’immagine mostra una circonferenza: tutti i punti distano 5,85 cm dal centro.

Costruzione della circonferenza

In figura è mostrato un ingrandimento della circonferenza precedente che ha centro nell’origine degli assi. Abbiamo già evidenziato anche il raggio.
Equazione analitica della circonferenza traslata

Dobbiamo definire un’equazione della circonferenza sulla base della definizione imposta. In particolare, nella circonferenza, tutti i punti si trovano ad una distanza costante dal centro e questa distanza è proprio il raggio.

Come potete vedere dalla figura, la lunghezza del raggio si trova con il Teorema di Pitagora: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$ Questa formula ci rappresenta tutti i punti che distano r dall’origine degli assi.

E’ quello che volevamo: la riscriviamo di nuovo: $$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$ è l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine degli assi di raggio r.

Un’equazione più generale: una circonferenza qualsiasi

L’equazione che ci siamo appena ricavati non rappresenta qualsiasi circonferenza, ma solo quelle con centro nell’origine degli assi.

Per risolvere il problema, proviamo a traslare la nostra circonferenza con una traslazione $$t \left\{\begin{matrix} x'=x+h\\ y'=y+k \end{matrix}\right.$$ Ovvero, sostituiremo \(x=x'-h\) e \(y=y'-k\) all'equazione della circonferenza con centro nell'origine. Così facendo, avremo una circonferenza traslata di un vettore \(\nu (h;k)\) $$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$$ E, svolgendo i quadrati: $$x^2-2hx+h^2+y^2-2ky+k^2=r^2$$

Adesso,
• \(h^2\), \(k^2\) e \(r^2\) sono numeri: definiamo \(c=h^2+k^2-r^2\)
• \(2h\) e \(2k\) sono anch’essi numeri: definiamo \(a=2h\) e \(b=2k\)

L’equazione generale della circonferenza diventa quindi:

$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$

Perché hai fatto queste sostituzioni con a b c?

Quando consideri un’equazione, hai sempre coefficienti numerici, ad esempio: \(x^2+y^2+4x+...\) adesso sai che 4=2h e che quindi la circonferenza si è spostata sull’asse delle x di due unità. E’ quindi un modo più naturale per esprimere l'equazione.

Considerazioni sull'equazione generale

$$x^y+y^2+ax+by+c=0$$ rappresenta una circonferenza traslata. La domanda che possiamo porci è:

Rappresenta sempre una circonferenza traslata?.

La risposta è no. Osserviamo perché. Abbiamo definito \(c=h^2+k^2-r^2\) ovvero, \(r^2=h^2-k^2-c\) ed essendo \(a=2h\) e \(b=2k\) si può riscrivere come $$r^2=(\frac{a}{2} )^{2} - (\frac{b}{2} )^2 -c$$ Estraendo la radice quadrata $$r=\sqrt{(\frac{a}{2} )^{2} - (\frac{b}{2} )^2 -c}$$ Perfetto: questa uguaglianza ci permette addirittura di calcolare il raggio di una circonferenza espressa da un’equazione, senza nemmeno disegnarla, a partire dai valori di a b c.

Ma il valore è sotto la radice quadrata quindi:
• se \(\frac{a}{2})^2-(\frac{b}{2})^2-c >0\) il raggio assume un valore definito e la circonferenza esiste.
• se \(\frac{a}{2})^2-(\frac{b}{2})^2-c <0\) il valore sotto la radice è negativo e quindi non esiste. In questo caso il raggio non ha valore e la circonferenza non esiste.
• se \(\frac{a}{2})^2-(\frac{b}{2})^2-c = 0\) il raggio r=0 e la circonferenza si riduce ad un punto: si dice che è una circonferenza degenere.