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Definizione

Si definisce prodotto della matrice A(m x n) per la matrice B(n x p) la matrice P(m x p) il cui generico elemento p(i,j) si ottiene moltiplicando scalarmente la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B.

In termini matematici

$$P=A\bullet B=[p_{i,j}]=\sum_{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}$$ dove n Ŕ il numero di righe della seconda matrice.

La definizione ci dice che date due matrici A e B, si pu˛ calcolarne il prodotto se e solo se
il numero di righe della seconda Ŕ uguale al numero di colonne della prima.

Matrici conformabili rispetto alla moltiplicazione.
Se il numero di righe della seconda Ŕ uguale al numero di colonne della prima si dice che le matrici sono conformabili rispetto alla moltiplicazione.
Formula per la moltiplicazione tra matrici. Per calcolare la matrice prodotto si segue la formula: in particolare

• Per l’elemento nella riga 1 colonna 1: si moltiplica l’elemento nella riga 1 colonna 1 della matrice A per l’elemento nella riga 1 colonna 1 della matrice B e si somma al prodotto tra l’elemento della riga 1 colonna 2 della matrice A e l’elemento della riga 2 colonna 1 della matrice B.
• Per l’elemento nella riga 1 colonna 2: si moltiplica l’elemento nella riga 1 colonna 1 della matrice A per l’elemento della riga 1 colonna 2 della matrice B e si somma al prodotto tra l’elemento della riga 1 colonna 2 della matrice A e l’elemento della riga 2 colonna 2 della matrice B.
• etc...

Per ricordare

Quando volete calcolare l’elemento di una matrice prodotto considerate la riga e la colonna di questo elemento.
Per esempio vogliamo calcolare l’elemento i(3,7) ovvero l’elemento che si trova sulla terza riga e settima colonna.
Per farlo, prendiamo ciascun elemento che si trova sulla terza riga di A e lo moltiplichiamo per il suo corrispettivo sulla settima colonna di B
sommando i risultati ottenuti. Il risultato sarÓ l’elemento i(3,7) della matrice prodotto.

In generale, si moltiplicano sempre i valori della riga di A e della colonna di B (il primo con il primo, il secondo con il secondo, ...) corrispondenti alla riga e alla colonna dell’elemento della matrice C.

Un esempio

Prodotto fra matrici
Risultato del prodotto tra due matrici conformabili rispetto alla moltiplicazione.

Ricorda

Il prodotto tra matrici NON gode della proprietÓ commutativa!

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