Dimostrazione del Teorema del confronto (o dei carabinieri) - Analisi Matematica

Il teorema del confronto, detto anche dei carabinieri è un teorema molto utile in analisi matematica, perché permette, conosciuti i limiti di due particolari funzioni, di calcolare il limite di una terza.

Tesi

Date tre funzioni, f(x),g(x) e h(x), tali che g(x)h(x)f(x) ed essendo, per lim
\textit{ allora } \lim_{x \to x_{0}}h(x)=l

Esempio


In questo piano cartesiano sono rappresentate tre funzioni f(x), h(x), g(x).

Come potete osservare si ha che g(x) Ora g(x) e f(x) hanno un limite in comune nel punto C.
Il teorema del confronto afferma che anche h(x) ha il medesimo limite nel punto C.

Dimostrazione

La dimostrazione avviene ponendo i limiti delle due funzioni esterne, f(x) e g(x), uguale ad un limite l e calcolando il relativo intorno. Poi si intersecano i due intorni ottenuti e si riprende la relazione iniziale tra le tre funzioni. Si nota che la funzione centrale è compresa tra le medesime estremità delle altre due funzioni, quindi ha il medesimo limite.

  1. Supponiamo \lim_{x \to x_{0}}f(x)=l\wedge \lim_{x \to x_{0}}g(x)=l

  2. Quindi, per la definizione di limite, si avranno due intorni di x_0


    \exists I_{x0} tale che \forall x\in I_{x0} \left | f(x)-l \right |< \varepsilon
    \exists I'_{x0} tale che \forall x\in I'_{x0} \left | f(x)-l \right |< \varepsilon

  3. Adesso si consideri l’intorno I'' = I\bigcap I'

  4. Essendo in I’’ i valori che soddisfano entrambi i limiti, deve valere che l-\varepsilon < f(x) < l+ \varepsilon l-\varepsilon < g(x) < l+ \varepsilon

  5. E quindi, per la 1. l-\varepsilon < f(x) \leq h(x)\leq g(x)< l+ \varepsilon

  6. Riguardiamo bene:

    l- \varepsilon < f(x) \leq h(x) \leq g(x) < l+ \varepsilon

  7. Quindi:
    \lim_{x \to x_0}h(x)=l c.v.d.

Data di pubblicazione: 11 April 2023

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