Mathematikoi

Tesi

\( \textit{Date tre funzioni, } f(x), g(x) \textit{ e } h(x), \textit{ tali che } g(x) \leq h(x) \leq f(x) \textit{ ed essendo, per } \lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}}g(x)\)
\(\textit{ allora } \lim_{x \to x_{0}}h(x)=l\)

Esempio

Dimostrazione del teorema dei carabinieri o del confronto
In questo piano cartesiano sono rappresentate tre funzioni f(x), h(x), g(x).

Come potete osservare si ha che g(x)<h(x)<f(x).
Ora g(x) e f(x) hanno un limite in comune nel punto C.
Il teorema del confronto afferma che anche h(x) ha il medesimo limite nel punto C.

Dimostrazione

La dimostrazione avviene ponendo i limiti delle due funzioni esterne, f(x) e g(x), uguale ad un limite \(l\) e calcolando il relativo intorno. Poi si intersecano i due intorni ottenuti e si riprende la relazione iniziale tra le tre funzioni. Si nota che la funzione centrale è compresa tra le medesime estremità delle altre due funzioni, quindi ha il medesimo limite.

  1. Supponiamo \(\lim_{x \to x_{0}}f(x)=l\wedge \lim_{x \to x_{0}}g(x)=l\)

  2. Quindi, per la definizione di limite, si avranno due intorni di \(x_0\)


    \(\exists I_{x0}\) tale che \(\forall x\in I_{x0} \left | f(x)-l \right |< \varepsilon\)
    \(\exists I'_{x0}\) tale che \(\forall x\in I'_{x0} \left | f(x)-l \right |< \varepsilon\)

  3. Adesso si consideri l’intorno \(I'' = I\bigcap I'\)

  4. Essendo in I’’ i valori che soddisfano entrambi i limiti, deve valere che $$l-\varepsilon < f(x) < l+ \varepsilon $$ $$l-\varepsilon < g(x) < l+ \varepsilon $$

  5. E quindi, per la 1. $$l-\varepsilon < f(x) \leq h(x)\leq g(x)< l+ \varepsilon $$

  6. Riguardiamo bene:

    \(l- \varepsilon <\) \(f(x) \leq \)\(h(x)\) \(\leq g(x) \) \(< l+ \varepsilon\)

  7. Quindi:
    $$\lim_{x \to x_0}h(x)=l$$ c.v.d.

Mathematikoi ha uno strumento che calcola automaticamente le derivate.

E mostra i passaggi.

Può interessarti, è gratuito.

Clicca qua!