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Introduzione

Abbiamo introdotto l’integrale definito tra a e b di f(x) come la sommatoria dell’area degli infiniti rettangoli sotto il grafico della funzione, e l’abbiamo indicata con \(\int_{a}^{b} f(x)dx\). Il teorema che andremo a dimostrare afferma una proposizione importante: l’area ottenuta sommando tutti i rettangoli è uguale a quella di un particolare rettangolo, che ha per base l’intervallo [a,b] e per altezza un punto particolare della funzione.

Tesi

$$\textit{Se f(x) continua su }[a,b]\Rightarrow \exists \alpha \in [a,b] \textit{ tale che }\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\alpha)(b-a)$$ Il Teorema del valor medio afferma che l’l’area al di sotto di un grafico di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b],
comunemente chiamato integrale da a a b di f(x)
è uguale all’area di un rettangolo che ha per base l’intervallo scelto e per altezza un punto della funzione che appartiene a quell’intervallo.

Esempio

Consideriamo la funzione:
Il rettangolo nel disegno ha la stessa area del sottografico della funzione. \(y=\frac{1}{3}x^{2}\), si tratta di una parabola rivolta verso l’alto, e vogliamo calcolare il valore dell’area del sottografico compreso tra 0 e 3.
Il risultato, dopo qualche calcolo, risulta essere 3.

Il Teorema del valore medio ci dice che quest’area è uguale a quella di un rettangolo che ha per base l’intervallo considerato (3-0=3) e per altezza un punto \(\alpha\) della funzione che è compreso in quell’intervallo. In questo caso il punto \(\alpha\)(√3 , 1).

parabola funzione teorema valor medio Il rettangolo arancione e l’area del sottografico grigia sono equivalenti. Lo afferma il teorema del valor medio.

Dimostrazione

Consideriamo una generica funzione \(y=f(x)\) continua nell’intervallo [a,b].
Per il Teorema di Weierstrass (Link) la funzione ammette sicuramente un massimo e un minimo in questo intervallo.

Intervalli di una funzione Adesso, dividiamo la funzione in tanti sottointervalli. Se n è il numero di sottintervalli nei quali è diviso lintervallo [a,b] l’ampiezza di ogni sottointervallo sarà di: \(h= \frac{b-a}{n}\).

Il disegno mostra i rettangoli ottenuti dalla suddivisione dell’intervallo [0,3] in 11 sottointervalli, di ampiezza 11/3.
Adesso,per il Teorema di Weierstrass, ogni sottointervallo ammetterà un massimo relativo Mi ed un minimo mi, la cui relazione sarà: $$m\leq m_{i} \leq M_{i} \leq M \textit{ con i = 1,2,...,n}$$ intendendo con \(M_{i}\) e \(m_{i}\) i massimi e minimi relativi di ogni sottointervallo.

Adesso, moltiplichiamo per h ogni membro della relazione. h è un numero positivo, quindi non occorre cambiare di verso ai segni. Quindi: $$h \ast m\leq h \ast m_{i} \leq h \ast M_{i} \leq h \ast M \textit{ con i = 1,2,...,n}$$ Ovvero:
\(h\ast m\leq h\ast m_{1} \leq h\ast M_{1} \leq h\ast M \)
\(h\ast m\leq h\ast m_{2} \leq h\ast M_{2} \leq h\ast M \)
\(h\ast m\leq h\ast m_{3} \leq h\ast M_{3} \leq h\ast M \)
...
\(h\ast m\leq h\ast m_{n} \leq h\ast M_{n} \leq h\ast M \)
Adesso sommando membro a membro, otteniamo: $$n\ast h \ast m \leq \sum_{i=1}^{n} h\ast m_{i} \leq \sum_{i=1}^{n} h\ast M_{i} \leq n\ast h\ast M$$ Il primo e l’ultimo membro non sono che i soliti membri ripetuti \(n\) volte, mentre per i due termini centrali è necessaria la sommatoria. Notate che questi due termini esprimono rispettivamente la somma delle aree dei rettangoli che stanno sotto la funzione e la somma delle aree dei rettangoli ottenuti utilizzando il punto di massimo di ogni intervallo.

Per le considerazioni fatte sugli integrali, entrambe queste sommatorie convergono, per \(n\rightarrow \infty\) ad un limite comune, e questo limite è proprio il valore dell’area sottesa al grafico della funzione, ovvero a \(\int_{a}^{b}f(x)dx\).
Sostituiamo ad h la relazione prima espressa, \(h=\frac{b-a}{n}\) $$(b-a) \ast m \leq \sum_{i=1}^{n} h\ast m_{i} \leq \sum_{i=1}^{n} h\ast M_{i} \leq (b-a)\ast M$$

Passiamo quindi ai limiti $$\lim_{n \to \infty } (b-a) \ast m \leq \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} h\ast m_{i} \leq \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} h\ast M_{i} \leq \lim_{n \to \infty } (b-a)\ast M$$ Adesso:
Il primo termine al tendere di \(\lim_{n \to \infty }\), rimane così com’è, visto che non contiene la variabile n.
Il secondo termine al tendere di \(\lim_{n \to \infty }\), diventa, per le considerazioni espresse prima, \(\int_{a}^{b}f(x)dx\)
Il terzo termine al tendere di \(\lim_{n \to \infty }\), diventa, per le considerazioni espresse prima, \(\int_{a}^{b}f(x)dx\) (e quindi, poiché è uguale al secondo, può essere tralasciato)
Il quarto termine al tendere di \(\lim_{n \to \infty }\), rimane così com’è, visto che non contiene la variabile n.

Riscriviamo quindi la relazione: $$m(b-a) \leq \int^{b}_{a}f(x)dx \leq M(b-a)$$ Questo risultato è importante, perché ci dice che \(\int^{b}_{a}f(x)dx\) è compreso tra m(b-a) e M(b-a), ovvero esisterà un numero, compreso tra m ed M, che, moltiplicato a (b-a), esprime il valore dell’integrale.

Per il Teorema di Darbot una funzione continua ammette tutti i valori tra il suo minimo e il suo massimo.
Esisterà quindi un punto \(\alpha\) tale che $$f(\alpha ) \ast (b-a) = \int^{b}_{a}f(x)dx$$

c.v.d.

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