Dimostrazione del Teorema di Lagrange - Analisi Matematica

Il teorema di Lagrange è il secondo teorema che generalmente si incontra nello studio delle derivate. Con i suoi tre corollari, è uno dei teoremi più importanti nello studio di funzioni.

Teorema di Rolle

f:[a,b]Rf(a)=f(b)f(x) continua [a,b] derivabile (a,b)}c(a,b):f(c)=0" role="presentation">f:[a,b]Rf(a)=f(b)f(x) continua [a,b] derivabile (a,b)}c(a,b):f(c)=0


Se una funzione è continua in un intervallo [a ; b] e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, e se assume valori uguali in a e b, f(a)=f(b),
allora almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata y’(c)=0.

Teorema di Lagrange

Tesi

data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo chiuso [a ; b] e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, allora esiste almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata è:

y(c)=f(b)f(a)ba" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">y(c)=f(b)f(a)ba

Rappresentazione grafica

Il teorema di Lagrange: esiste un punto c nel quale la derivata (che è il coefficiente angolare della retta tangente) è uguale a f(b)-f(a)/(b-a) che rappresenta il coefficiente angolare della retta secante i due estremi.

Dimostrazione

Consideriamo la funzione

h(x)=f(x)Kx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">h(x)=f(x)Kx

Per le ipotesi del teorema la funzione è continua in [a ; b] e derivabile, poiché somma di funzioni continue e derivabili.

Determiniamo K in modo che h(a)= h(b)
f(a)-Ka = f(b)-Kb
-Ka+Kb = f(b)-f(a)
K(-a+b) = f(b)-f(a)

K=f(b)f(a)ba" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">K=f(b)f(a)ba


La funzione risulta quindi
h(x)=f(x)f(b)f(a)bax" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">h(x)=f(x)f(b)f(a)bax
Utilizzando questo valore di K possiamo applicare il teorema di Rolle ad h(x), affermando che esiste un punto c per il quale y’(c)=0. (Riguarda il Teorema di Rolle!)

Per le regole sul calcolo della derivata, h’(x) risulta (K è una costante e la derivata di Kx è K
h(x)=f(x)f(b)f(a)ba" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">h(x)=f(x)f(b)f(a)ba

Adesso si sostituisce ad x il punto c, per il quale la derivata è zero:
0=f(c)f(b)f(a)ba" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">0=f(c)f(b)f(a)ba

Dalla quale, spostando f’(c) a sinistra e moltiplicando entrambi i termini per -1:
f(c)=f(b)f(a)ba" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">f(c)=f(b)f(a)ba


che è quello che volevamo dimostrare.

c.v.d.

Data di pubblicazione: 11 April 2023

Indice delle lezioni

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