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Teorema di Weierstrass

Il teorema di Weierstrass afferma che se f(x) è una funzione continua nell’intervallo [a,b] allora assume un massimo e un minimo interni all’intervallo.
/(f/):[a,b] -> R allora /(f/) assume un massimo e un minimo in [a ; b].

Teorema di Rolle

Tesi

$$\left.\begin{matrix} f:[a,b]\to \mathbb{R} \\ f(a)=f(b)\\ f(x) continua[a,b]\wedge derivabile(a,b)]\\ \end{matrix}\right\}\exists c \in (a,b):f'(c)=0$$

Se una funzione è continua in un intervallo [a ; b] e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, e se assume valori uguali in a e b, ovvero f(a)=f(b),
allora esiste almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata y’(c)=0.

Dimostrazione

Nel caso in cui la funzione sia costante il teorema è auto-dimostrato, poiché se y=k, la derivata di una funzione costante è zero.

Se la funzione fluttua, la dimostrazione si fa utilizzando il teorema di Weierstrass:
secondo questo teorema infatti la funzione deve avere un massimo e/o un minimo nell’intervallo considerato:
considerando il punto c come punto di minimo possiamo dire che in qualsiasi altro punto x=(c+h) (con h positivo o negativo) la funzione è più grande, o al massimo uguale, a c.

Quindi, f(c+h) f(c) (con h qualsiasi)

Facendo tendere h a zero, si scopre che il limite sinistro di c è uguale al limite destro (e quindi la funzione è continua) solo quando il limite è zero.
E poiché il limite del rapporto incrementale è il valore della derivata, allora la derivata di c è zero.

Primo caso: funzione costante.

Se la funzione è costante, come in figura, la sua derivata è nulla e il teorema è dimostrato. Il teorema di Rolle per una funzione costante.

Secondo caso: funzione fluttuante

La funzione non è costante in [a ; b] e poiché f(a)=f(b),
per il teorema di Weierstrass ha almeno un massimo e un minimo interni all’intervallo.

Chiamiamo c il punto di minimo, interno all’intervallo.

In qualsiasi altro punto, distante da c una distanza qualsiasi (chiamata h), la funzione assume un valore maggiore.

Il teorema di Rolle per una funzione fluttuante.

Quindi possiamo scrivere che
$$f(c+h) \geq f(c)$$
Ovvero
$$f(c+h)-f(c) \geq 0$$
Quindi, dividendo entrambi i membri per h, otteniamo:
$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \geq 0 , h>0$$ $$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \leq 0 , h<0$$

La seconda disequazione risulta cambiata di verso, poiché si è diviso per -h, che è un numero negativo, e quando si divide per un numero negativo si cambia sempre di verso alla disequazione.

Adesso calcoliamo i limiti dei due rapporti incrementali appena ottenuti. Per il teorema della permanenza del segno, il segno del limite è concorde a quello dell’intorno alla funzione in quel punto:

$$\lim_{h \to 0^{+}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \geq 0$$ $$\lim_{h \to 0^{-}}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \leq 0$$

Poiché la derivata destra e la derivata sinistra debbono essere uguali (definizione di funzione derivabile), l’unico valore ammesso che sia maggiore uguale di zero o minore uguale di zero, è ovviamente... zero.

Quindi
y’(c)=0


c.v.d.

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