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Il teorema di Bayes: due urne con palline sono riempite, rispettivamente, con due palline rosse e tre nere, e una pallina rossa e due nere

La fotografia mostra due urne contenenti, rispettivamente, due palline rosse e tre nere, e due palline blu e una rossa.

Si tira una moneta: se esce testa,si estrae una pallina dalla prima urna, se esce croce, si estrae una pallina dalla seconda urna.
E' stata estratta una pallina rossa.

Ci chiediamo: qual'è la probabilità che sia stata estratta dall'urna A?

Un problema di questo tipo si risolve con il Teorema di Bayes. Un importante teorema sulle probabilità che descrive non tanto la probabilità che si generi un evento E, quanto piuttosto la probabilità che una causa specifica (in questo caso l'urna A) abbia generato l'evento.

La formula

Chiameremo:

E L'evento che prendiamo in considerazione (in questo caso: "Estrarre una pallina rossa")
\(P(E|H_i)\) La probabilità che l'evento sia stato generato dalla causa che cerchiamo (in questo caso: "Estrarre una pallina rossa dall'urna A")
\(P(H_i|E)\) La probabilità che la causa \(H_1\) causi l'evento E (in questo caso: "La probabilità di estrarre una pallina dall'urna A è di 2/5")
\(P(H_i)\) La probabilità a priori che possa verificarsi la causa \(H_i\) (in questo caso: "La probabilità di estrarre una pallina dall'urna A è di 1/2 e dipende esclusivamente dall'aver ottenuto testa o croce dalla monetina") $$P(E|H_i)=\frac{P(H_i|E)P(H_i)}{\sum_{j=1}^{j=n}P(H_j)P(H_j|E)}$$ Intendendo con \(H_j\) tutte le possibili cause.

Esempio

Continuando l'esempio, abbiamo:

E "Estrarre una pallina rossa"
\(P(E|H_1)\) "Aver estratto una pallina rossa dall'urna A"
\(P(H_1|E)\) La probabilità di estrarre una pallina rossa dall'urna A = 2/5
\(P(H_1)\)"La probabilità di estrarre una pallina dall'urna A" = di 1/2
\(P(H_2|E)\) La probabilità di estrarre una pallina rossa dall'urna B = 1/3
\(P(H_2)\)"La probabilità di estrarre una pallina dall'urna B" = di 1/2
$$P(E|H_1)=\frac{P(H_1|E)P(H_1)}{\sum_{j=1}^{j=2}P(H_j)P(H_j|E)}$$ $$P(E|H_1)=\frac{\frac{2}{5} \frac{1}{2} }{\frac{1}{2} \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{10}}{\frac{11}{30}}=\frac{2}{10}\frac{30}{11}=\frac{6}{11}\approx 54,5 \%$$ Quindi, c'è il 54,5% di probabilità che la pallina sia stata estratta dall'urna A.

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