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Tesi

Se la funzione \(f(x)\) è continua in [a;b], la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile e \(\forall x \in [a;b]\) risulta $$F'(x)=f(x)$$

Spiegazione

Abbiamo definito la funzione integrale come $$\int_{a}^{x}f(x)dx$$ ricordando come fosse la x dell'estremo superiore dellintegrale ad essere la variabile indipendente della funzione (tant’è che, per non creare confusione con i nomi delle variabili, avevamo scritto la forma equivalente, \(\int_{a}^{x}f(t)dt\).

La funzione associa, ad ogni x, la somma delle aree degli infiniti rettangoli sotto f(t) e avevamo dedotto che, se \(f(t) \geq 0 \forall x \in [a;b]\) allora la funzione associa, ad ogni x, l’area sotto il grafico della funzione, da a a x.

Adesso vogliamo dimostrare un importante teorema: la derivata della funzione integrale \(\int_{a}^{x}f(t)dt\) è la funzione integranda f(t).

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema, consideriamo \(x \in [a;b]\) e diamo ad x un incremento h, tale che \(x+h \in [a;b]\)

Il rapporto incrementale è quindi
$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$ Il numeratore può essere espresso quindi $$\frac{\int_{a}^{x+h} f(x)dx - \int_{a}^{x} f(x)dx}{h}$$ Adesso, l’integrale \(\int_{a}^{x+h}\) può essere espresso come \(\int_{a}^{x} + \int_{x}^{x+h}\): si tratta infatti di aree e possono essere sommate (figura). $$\frac{\int_{a}^{x} f(x)dx + \int_{x}^{x+h} f(x)dx -\int_{a}^{x} f(x)dx}{h}$$ Quindi, semplificando, $$\frac{\int_{x}^{x+h}f(x)dx}{h}$$ Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Applicando al numeratore il teorema della media possiamo affermare che esiste
un punto c appartenente all’intervallo \( [x;x+h]\) per cui $$\frac{(x+h-x)f(c)}{h}$$ $$\frac{(h)f(c)}{h}$$ La derivata altro non è il limite del rapporto incrementale con h che tende a zero.
$$F'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(h)f(c)}{h} \textit{ con c } \in [x;x+h]$$ Ovvero, semplificando h $$F'(x)=\lim_{h \to 0} f(c) = f(c) \textit{ con c } \in [x;x+h]$$ Essendo per definizione \(x \leq c \leq c+h\) se \(h\to 0\) allora \(c \to x\) [intuitivamente poiché l’intervallo nel quale può stare c si restringe sempre di più, rigorosamente facendo riferimento al Teorema dei carabinieri]

Quindi $$F'(x)=\lim_{h \to 0} f(c) = f(x)$$ che è quello che volevamo dimostrare.

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