Corollari al teorema di Lagrange

Tesi

data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo chiuso [a ; b], e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, allora esiste almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata è:

$$y'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Primo corollario

Se una funzione è continua in un intervallo I, e la sua derivata è zero in tutti i punti interni di I, allora la funzione è costante in quell’intervallo.

Dimostrazione

Poiché la funzione è continua e derivabile, si può applicare Lagrange, affermando che, presi due punti $x_{1}$ ed $x_{2}$ interni all’intervallo,

$$y’(c)=\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}$$ e poiché la derivata della funzione è nulla ovunque, è nulla anche in c: $$0=\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}$$ ovvero $$f(x_{1})=f(x_{2})$$ E, poiché $x_{1}$ e $x_{2}$ sono punti generici di I, f(x) assume il solito valore per tutti i punti di quell’intervallo.

c.v.d.

Secondo corollario

Se due funzioni, f(x) e g(x) continue in un intervallo I, hanno derivate uguali in tutti i punti interni di I, esse differiscono per una costante.

Dimostrazione

Consideriamo la funzione ausiliaria H(x) = f(x) - g(x).
Si ha che

$$H'(x)=f'(x)-g'(x)$$ E, per ipotesi /(f')/ e /(h'/) sono uguali per ogni x, quindi $$F'(x)=0$$ E, per il corollario precedente, F è costante per ogni x, quindi $$f(x)-g(x)=K$$
c.v.d.

Terzo corollario

Data una funzione continua e derivabile nei punti interni di un intervallo I, se la derivata della funzione è sempre positiva la funzione è crescente nell’intervallo. Se la derivata è sempre negativa la funzione è decrescente in I.

Dimostrazione

Siano $x_{1}$ e $x_{2}$ due punti qualsiasi di I
e sia

$$x_{2} > x_{1}$$ Per il teorema di Lagrange si può scrivere che $$y'(c)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$$

Supponiamo che la derivata sia sempre positiva e quindi anche f’(c) >0

Poiché y’(c)>0 e $x_{2} > x_{1}$ cioè $x_{2}-x_{1} >0$ , dev’essere anche $f(x_{2}) - f(x_{1}) > 0$, ovvero $$f(x_{2}) > f(x_{1})$$ ovvero la funzione è crescente.

c.v.d.

Supponiamo che la derivata sia sempre positiva e quindi anche f’(c) <0

Poiché y’(c)<0 e $x_{2} > x_{1}$ cioè $x_{2}-x_{1} >0$ , dev’essere $f(x_{2}) - f(x_{1}) < 0$, ovvero

$$f(x_{2}) < f(x_{1})$$ ovvero la funzione è decrescente.

c.v.d.