Le equazioni logaritmiche - Spiegazione

Definizione

Le equazioni logaritmiche sono equazioni nelle quali l’incognita appare come parametro del logaritmo. Per esempio

$$\log_{a}(x)-b=0$$ è un’equazione logaritmica.
Notiamo fin da subito che se per qualche motivo il parametro del logaritmo fosse minore di zero, ovvero se fosse x<0 l’equazione non avrebbe minimamente senso, poiché non esiste un logaritmo di un numero negativo.

Sarà bene quindi, prima di partire con ogni risoluzione, imporre come condizione di esistenza che il parametro del logaritmo sia maggiore di zero ovvero, in questo caso, che x>0.

Forma canonica delle equazioni logaritmiche

La forma canonica è una forma convenzionale sotto la quale è utile portare i diversi tipi di equazioni. Una volta ricondotte alla forma canonica, le equazioni logaritmiche sono facilissime da risolvere.
La forma canonica delle equazioni logaritmiche è la seguente:

$$log_{a}(f(x))=log_{a}(g(x))$$ dalla quale segue che: $$f(x)=g(x)$$

Spiegazione

La forma canonica ci informa che, per poter risolvere un’equazione logaritmica occorre:

1. Avere un solo logaritmo a destra e un solo logaritmo a sinistra
   
2. Avere il medesimo coefficiente (uno) ad entrambi i logaritmi
   $log_{a}(f(x)) = 3 log_{a}(g(x))$ non è in forma canonica!
3. Essere uguali le basi dei logaritmi.
   
   Una volta eguagliate le due parti, si "tolgono" i logaritmi e si eguagliano i parametri.

Perché si fa così?

"Togliere" i logaritmi è un’espressione che, per quanto efficace, è incorretta.

Guardiamo bene cosa stiamo facendo abbiamo eguagliato due logaritmi molto diversi tra loro: uno ha come parametro f(x), un altro ha una funzione completamente differente: g(x).

$$log_{a}(f(x))=log_{a}(g(x))$$ Però, ragioniamo meglio su questa frase:
se il valore dei logaritmi delle due funzioni è uguale, allora è uguale anche quello dei due parametri.
Per rendervene conto guardate questo esempio:
$$log_{2}(8)=log_{2}(8)$$ se e solo se
$$8=8$$

Quindi

Ogni volta che si ha un’equazione logaritmica, per risolverla:

1. Si calcolano le condizioni di esistenza, mettendo ogni parametro maggiore di zero: infatti, se f(x) o g(x) fossero negative, l’equazione non avrebbe proprio senso.
   
2. Si porta in forma canonica: un logaritmo a sinistra, un logaritmo a destra con la solita basS
   
3. Il dominio della funzione esponenziale quando a è positivo è, quindi l’insieme dei numeri positivi, $\mathbb{R^+}$
   
4. Si tolgono i logaritmi e si eguagliano i parametri.
   

Guarda un esercizio fatto!