La funzione esponenziale - Spiegazione

Definizione

La funzione esponenziale è una funzione trascendente nella forma $$f:x\rightarrow a^{x}$$ a è definita “base della funzione”. Se a è un numero positivo, allora la funzione esiste \(\forall x \in \mathbb{R}\) e il suo codominio è l’insieme dei numeri razionali positivi \(\mathbb{R^+}\).

Grafico della funzione esponenziale per \(a > 1\)

Disegniamo il grafico della funzione esponenziale utilizzando come base un numero a>1. Il grafico rappresenta y=2^x. La tabella mostra alcuni valori della funzione sui quali è costruito il grafico.

Come si può notare, la funzione esponenziale è crescente: al crescere della x cresce anche la y, con un notevole picco nel quadrante dei numeri positivi. Non si ferma mai: all’aumentare delle x anche la y tende and infinito.
Al contrario, andando verso sinistra, si nota che la funzione si “schiaccia” sempre di più, fino ad arrivare allo zero. Non lo toccherà mai: si dice che y=0 è asintoto della funzione.

Grafico della funzione esponenziale per \(0 < a < 1\)

Disegniamo adesso il grafico della funzione esponenziale utilizzando come base un numero compreso tra 0 e 1, per esempio y=½^x. La tabella mostra i valori della funzione per alcuni valori di x sui quali è costruito il grafico.

Questo caso è l’opposto rispetto al precedente. La funzione esponenziale che ha per base un numero compreso tra zero e uno, infatti, è decrescente:
all’aumentare della x diminuisce la y. Anche in questo caso y=0 (l’asse delle x) è asintoto: la funzione si avvicina ma non lo tocca mai.
Ricordiamoci di questa distinzione perché sarà fondamentale quando si dovranno risolvere le disequazioni esponenziali.

Il grafico per a=1

Ricorda

1. Il grafico è sempre sopra l’asse delle x.
   
2. y=0 è un asintoto.
   
3. Il dominio della funzione esponenziale quando a è positivo è, quindi l’insieme dei numeri positivi, \(\mathbb{R^+}\)
   
4. Se a>1, la funzione è crescente, se a<1 è decrescente. Il limite minimo è sempre 0, il massimo + infinito.