Gli integrali per parti - Spiegazione

Quando non si riesce a risolvere un integrale, l'integrazione per parti può rivelarsi utile

Supponiamo di dover calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, ovvero

f(x)g(x)dx" role="presentation">f(x)g(x)dx
Se conosciamo:

• La primitiva di una delle due funzioni
• La derivata dell'altra funzione

allora possiamo utilizzare l'integrazione per parti.
f(x)g(x)dx=F(x)g(x)F(x)g(x)" role="presentation">f(x)g(x)dx=F(x)g(x)F(x)g(x)
intendendo con F(x) la primitiva di f(x)" role="presentation">f(x) e con g'(x) la derivata di g(x)" role="presentation">g(x).

Esempio

Supponiamo di dover calcolare

ln(x)dx" role="presentation">ln(x)dx
ovviamente non abbiamo la minima idea, poiché è un integrale non noto. La sua derivata però, è ben conosciuta: 1/x" role="presentation" style="position: relative;">1/x.

Riscriviamo la funzione integranda, ln(x)" role="presentation" style="position: relative;">ln(x), come ln(x)1" role="presentation" style="position: relative;">ln(x)1. Ovviamente, trattandosi di una moltiplicazione per 1, nulla è cambiato.

Quindi

ln(x)1dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ln(x)1dx
Adesso, riprendiamo la formula dell’integrale per parti:
f(x)g(x)dx=F(x)g(x)F(x)g(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">f(x)g(x)dx=F(x)g(x)F(x)g(x)
Conosciamo la derivata di ln(x), ovvero 1/x" role="presentation" style="position: relative;">1/x
e la primitiva di 1, ovvero x" role="presentation" style="position: relative;">x
1ln(x)dx=xln(x)x1x" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">1ln(x)dx=xln(x)x1x
considerando f(x)=1 e g(x)=ln(x).

Risolvendo si ottiene

xln(x)x1x=xln(x)1dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">xln(x)x1x=xln(x)1dx
Ovvero
xln(x)x" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">xln(x)x
che è l’integrale di ln(x), calcolato mediante l’integrazione per parti.

Dimostrazione della formula dell’integrazione per parti

La dimostrazione si ottiene a partire dalla formula di derivazione del prodotto.
Si consideri il prodotto di due funzioni, che supponiamo ovviamente derivabili,

y=f(x)g(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">y=f(x)g(x)
Per la formula di derivazione del prodotto,
y=f(x)g(x)+f(x)g(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">y=f(x)g(x)+f(x)g(x)
Ovvero, sostituendo ad y = f(x)g(x)
(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x)
E, calcolando l’integrale dei due membri,
f(x)g(x)dx=f(x)g(x)+f(x)g(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">f(x)g(x)dx=f(x)g(x)+f(x)g(x)
Ora, poiché l’integrale della derivata di f(x)g(x) è proprio... f(x)g(x), e a destra l’integrale può essere spezzato:
f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)
Riordinando abbiamo
f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx
Questo dimostra già la formula di integrazione. Per usare una notazione più facile, sostituiamo f(x) al posto di f’(x) e F(x) al posto di f(x) [notate che la relazione primitiva/derivata è rimasta la medesima, abbiamo soltanto cambiato nome!]
E quindi:
f(x)g(x)dx=F(x)g(x)F(x)g(x)dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">f(x)g(x)dx=F(x)g(x)F(x)g(x)dx
c.v.d.

Data di pubblicazione: 12 April 2023

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