Supponiamo di dover calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, ovvero
∫f(x)g(x)dx" role="presentation">∫f(x)g(x)dx
Se
conosciamo:
• La
primitiva di una delle due funzioni
• La
derivata dell'altra funzione
allora possiamo utilizzare l'integrazione per parti.
∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−∫F(x)g′(x)" role="presentation">∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−∫F(x)g′(x)
intendendo con F(x) la
primitiva di
f(x)" role="presentation">f(x) e con g'(x) la
derivata di
g(x)" role="presentation">g(x).
Esempio
Supponiamo di dover calcolare
∫ln(x)dx" role="presentation">∫ln(x)dx
ovviamente non abbiamo la minima idea, poiché è un integrale non noto. La sua derivata però, è ben conosciuta:
1/x" role="presentation" style="position: relative;">1/x.
Riscriviamo la
funzione integranda,
ln(x)" role="presentation" style="position: relative;">ln(x), come
ln(x)∗1" role="presentation" style="position: relative;">ln(x)∗1. Ovviamente, trattandosi di una moltiplicazione per 1, nulla è cambiato.
Quindi
∫ln(x)⋅1dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∫ln(x)⋅1dx
Adesso, riprendiamo la formula dell’integrale per parti:
∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−∫F(x)g′(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−∫F(x)g′(x)
Conosciamo la
derivata di ln(x), ovvero
1/x" role="presentation" style="position: relative;">1/x
e la
primitiva di 1, ovvero
x" role="presentation" style="position: relative;">x
∫1⋅ln(x)dx=x⋅ln(x)−∫x⋅1x" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∫1⋅ln(x)dx=x⋅ln(x)−∫x⋅1x
considerando f(x)=1 e g(x)=ln(x).
Risolvendo si ottiene
x⋅ln(x)−∫x⋅1x=x⋅ln(x)−∫1dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">x⋅ln(x)−∫x⋅1x=x⋅ln(x)−∫1dx
Ovvero
x⋅ln(x)−x" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">x⋅ln(x)−x
che è l’integrale di ln(x), calcolato mediante l’
integrazione per parti.
Dimostrazione della formula dell’integrazione per parti
La dimostrazione si ottiene a partire dalla formula di derivazione del prodotto.
Si consideri il prodotto di due funzioni, che supponiamo ovviamente derivabili,
y=f(x)g(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">y=f(x)g(x)
Per la formula di derivazione del prodotto,
y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">y′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
Ovvero, sostituendo ad y = f(x)g(x)
(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
E, calcolando l’
integrale dei due membri,
∫f(x)g(x)′dx=∫f′(x)g(x)+f(x)g′(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∫f(x)g(x)′dx=∫f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
Ora, poiché l’integrale della derivata di f(x)g(x) è proprio... f(x)g(x), e a destra l’integrale può essere spezzato:
f(x)g(x)=∫f′(x)g(x)+∫f(x)g′(x)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">f(x)g(x)=∫f′(x)g(x)+∫f(x)g′(x)
Riordinando abbiamo
∫f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∫f′(x)g(x)dx=f(x)g(x)−∫f(x)g′(x)dx
Questo dimostra già la formula di integrazione. Per usare una notazione più facile,
sostituiamo f(x) al posto di f’(x)
e F(x) al posto di f(x) [
notate che la relazione primitiva/derivata è rimasta la medesima, abbiamo soltanto cambiato nome!]
E quindi:
∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−∫F(x)g′(x)dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)−∫F(x)g′(x)dx
c.v.d.