Gli integrali fratti con delta maggiore di zero - Spiegazione

Preparazione alla risoluzione

Controlliamo che il grado del denominatore sia minore del grado del numeratore: se non fosse, una divisione tra polinomi risolverà il problema.

Quindi, numeratore di primo grado, (o un numero), e denominatore di secondo grado con delta maggiore di zero. Vediamo come risolverli.

Risoluzione

$$\int \frac{4x+1}{x^{2}-x-6}dx$$ In questo esempio, il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore (non occorre quindi la divisione tra polinomi) e il delta del denominatore è positivo

Esisteranno quindi due soluzioni, $x_1$ e $x_2$
per cui il denominatore $ax^2+bx+c=0$

La risoluzione avviene riscrivendo l’integrale in una forma diversa:

$$\int \frac{A}{a(x-x_1)}+ \frac{B}{(x-x_2)}dx$$ $x_1$ e $x_2$ sono i risultati dell’equazione di secondo grado, mentre A e B sono due opportuni coefficienti.

Calcolo di A e B

Ovviamente l’integrale che abbiamo riscritto dev’essere identico a quello dato, per cui, una volta calcolate le soluzioni dell’equazione di secondo grado possiamo scrivere che

$$\frac{A}{(x+2)}+ \frac{B}{(x-3)}= \frac{4x+1}{x^{2}-x-6}$$ Risolviamo il primo termine: $$\frac{A(x-3)+B(x+2)}{(x+2)(x-3)}= \frac{4x+1}{x^{2}-x-6}$$ $$\frac{Ax-3A+Bx+2B}{x^{2}-x-6}= \frac{4x+1}{x^{2}-x-6}$$ Adesso raccogliamo l’incognita x $$\frac{(A+B)x-3A+2B}{x^{2}-x-6}= \frac{4x+1}{x^{2}-x-6}$$ Poiché i due termini sono uguali, dovrà essere che $$\left\{\begin{matrix} A+B=4\\ 2B-3A=6 \end{matrix}\right.$$ Risolvendo, si trova $a=\frac{2}{5}$, $b=\frac{18}{5}$

Adesso, possiamo risolvere:

$$\int \frac{\frac{2}{5}}{(x+2)}+ \frac{\frac{18}{5}}{(x-3)}dx$$ Ovvero $$-\frac{2}{5} \int \frac{1}{(x+2)}+ \frac{18}{5} \int \frac{1}{(x-3)}dx$$ E, risolvendo $$-\frac{2}{5} \ln (x+2) + \frac{18}{5} \ln (x-3)$$ Per cui

Gli integrali con il delta maggiore di zero si risolvono sempre nella forma $$A \ln (x-x_{1}) + B \ln (x-x_{2})$$