Gli integrali fratti con delta uguale di zero - Spiegazione

Preparazione alla risoluzione

Controlliamo che il grado del denominatore sia minore del grado del numeratore: se non fosse, una divisione tra polinomi risolverà il problema.

Quindi, numeratore di primo grado, (o un numero), e denominatore di secondo grado con delta maggiore di zero. Vediamo come risolverli.

Risoluzione

Se il delta è uguale a zero, il denominatore è formato da un quadrato perfetto e può essere scomposto nella forma a(x-x₁)²

La scomposizione della funzione avviene così

$$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c}dx = \int \frac{A}{a(x-x_1)^2} + \frac{B}{a(x-x_1)}dx$$ Dove A e B sono due opportuni coefficienti da che devono essere calcolati.

Notate che una presenta un termine al quadrato e l’altra no.

Calcolo di A e B

$$\int \frac{4x-1}{4x^2-4x+1}dx$$ Il delta, ovviamente è uguale a zero. Poniamo $4x^2-4x+1=0$ $x_{1}=\frac{1}{2}$. La funzione può quindi essere scomposta nella forma $$\int \frac{A}{4(x-\frac{1}{2})^2} + \frac{B}{4(x-\frac{1}{2})}dx$$ Adesso, sommiamo i due termini e otteniamo: $$\int \frac{A+(x-\frac{1}{2})B}{4(x-\frac{1}{2})^2}dx$$ $$\int \frac{A+Bx-\frac{1}{2}B}{4(x-\frac{1}{2})^2}dx$$ Adesso, per il principio di identità dei polinomi, le due funzioni sono uguali se sono uguali tutti i coefficienti dei monomi corrispondenti. Risolviamo quindi il sistema: $$\left\{\begin{matrix} B=4\\ A-\frac{1}{2}B=-1 \end{matrix}\right.$$ Risolvendo, si ottiene: $$\left\{\begin{matrix} A=1\\ B=4 \end{matrix}\right.$$ Quindi, possiamo riscrivere la nostra funzione integranda $$\int \frac{1}{4(x-\frac{1}{2})^2} + \frac{4}{4(x-\frac{1}{2})}dx$$ Facciamo qualche calcolo $$\frac{1}{4} \int (x-\frac{1}{2})^{-2} + \int \frac{1}{x-\frac{1}{2}}dx$$ Il primo integrale è nella forma $f'(x) \cdot f(x)^{n}$, il secondo è banalmente un logaritmo: $$\frac{1}{4} \frac{(x-\frac{1}{2})^{-1}}{-1} + \ln(x-\frac{1}{2})$$ $$-\frac{1}{4x-2} + \ln(x-\frac{1}{2})$$