Elementi di analisi: le discontinuità - Spiegazione

Definizione di continuità di una funzione in un punto

Si diche che una funzione $f(x)$ è continua in un punto c se e soltanto se:

$$\lim_{x \to c^-} f(x) = f(c) = \lim_{x \to c^+} f(x)$$ se il limite destro coincide con il limite sinistro e con la funzione in quel punto.

La figura mostra una funzione continua nel punto x=3. Come vedete, da sinistra la funzione si avvicina a f(3),
da destra anche, e il valore a cui si avvicina la funzione da sinistra a destra è proprio f(3).

Sono soddisfatte tutte le condizioni di continuità, e la funzione si dice "continua nel punto x=3"

La discontinuità

A seconda di come viene violata la legge di continuità, si hanno differenti discontinuità. In particolare, poiché le richieste sono 3 (limite finito, limite destro e sinistro identici tra loro, limite destro e sinistro identici alla funzione, si potranno avere tre tipi di discontinuità. Vediamole.

La discontinuità di prima specie (o di salto)

Se esistono, finiti, i limiti destro e sinistro di una funzione in un punto c, ma non coincidono tra loro -a prescindere dell'esistenza o meno della funzione nel punto c-, allora si ha la discontinuità di prima specie.

$$\lim_{x \to c^-} f(x) \neq \lim_{x \to c^+}$$ In figura è rappresentata una funzione con discontinuità di prima specie. La differenza tra il limite destro e sinistro è chiamata "salto".. La figura vi suggerisce il perché.


Una funzione un po' particolare, $y= \left\{\begin{matrix} \sqrt {x-2}+2 & x>2 \\ \sqrt {-x+2}+1& x<2 \end{matrix}\right.$ Al di là dell'equazione in forma analitica, vediamo bene la discontinuità di prima specie nel punto x=2. Il limite sinistro della funzione $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$ e il limite destro $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2$. I due limiti non coincidono, a prescindere dall'esistenza della funzione in x=2 (questa, per esempio, non esiste). La differenza (2-1=1) è chiamata "salto".

La discontinuità di seconda specie (o essenziale)

Si dice che la funzione ha una discontinuità di seconda specie se non esiste, o non esiste finito uno almeno dei due limiti a destra o a sinistra del punto c.

Un ramo di iperbole equilatera: il limite $\lim_{x \to 0^-} f(x) = + \infty$ : in questo caso il limite è infinito e si ha una discontinuità di seconda specie.

Cosa significa "non esiste"?

Un limite può anche non esistere.


Si prenda la funzione $y= \sin \frac{1}{x}$, è definita per ogni x diverso da zero.
Se calcoliamo $\lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x}$, $\frac{1}{x}$ tende a infinito, e $\sin {\infty}$ non ammette limite: al contrario, la funzione in prossimità di zero "oscilla" sempre di più, senza che si avvicini ad un valore determinato. La figura mostra un ingrandimento della parte del grafico prossima a zero: le oscillazioni si fanno sempre più frequenti.

Si tratta, come abbiamo visto, di una discontinuità di seconda specie.

La discontinuità di terza specie (o eliminabile)

Si ha la discontinuità di terza specie in un punto c se esistono, finiti, i limiti destro e sinistro di una funzione per quel punto e coincidono tra loro, ma non esiste la f(c), o f(c) è diversa dai limiti per $x \to c$.

$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} \neq f(c)$$ Consideriamo la funzione $y= \frac{\sin x}{x}$. E' definita per tutte le x, ad esclusione di x=0.
Ma -ed è un limite notevole- $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$. Quindi ha una discontinuità di terza specie.

E' detta "eliminabile", poiché basta completare la definizione della funzione definendo il valore nel punto di discontinuità.
In questo caso: $$y = \left\{\begin{matrix} \frac{\sin x}{x} & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{matrix}\right.$$