Limite notevole - sin x

Tesi

Introduciamo un limite notevole molto importante:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1 \textit{ con x in radianti}$$ La specificazione con x in radianti è molto importante, se x è in gradi, il limite non è verificato.

Dimostrazione

La funzione $f(x)= \frac{\sin x}{x}$ è pari, infatti si ha che

$$\frac{\sin (x)}{x} = \frac{ \sin (-x)}{-x}$$ infatti $\frac{ \sin (-x)}{-x} = \frac{- \sin (x)}{-x} = \frac{\sin (x)}{x}$.
Quindi, possiamo considerare le x (ovvero gli angoli) positivi: per i negativi, sarebbe la medesima cosa.

In effetti noi ci proponiamo di studiare la funzione quando l'angolo tende a zero, quindi per angoli molto piccoli, che stanno sicuramente nel primo quadrante.

La figura mostra una circonferenza goniometrica (di raggio 1) con un angolo x misurato in radianti.

Misurare un angolo in radianti, significa misurare la lunghezza dell'arco di circonferenza goniometrica individuato dall'angolo.

Per definizione, la misura di x in radianti ci dice esattamente la misura della lunghezza dell'arco $\widehat{AB}$.
Osservando la figura, si definisce il segmento AB come la tangente di x.

Osservando la figura si deduce che è

$$CB < \widehat{AB} < AD$$ Ma CB è il seno di x, e abbiamo detto che la misura dell'arco è uguale all'angolo espresso in radianti. Quindi: $$\sin x < x < \tan x$$ Dividiamo per $\sin x$ che, per quanto abbiamo detto, è positivo (l'angolo è molto piccolo e si trova nel primo quadrante!) $$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$$ Adesso, consideriamo i reciproci $$1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x$$ Riordinando... $$\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$$ Adesso, per il Teorema del Confronto, possiamo scrivere: $$\lim_{x \to 0} \cos x \leq \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \leq \lim_{x \to 0} 1$$ • $\lim_{x \to 1} \cos x =$ poiché $\cos 0 = 1$;
• $\lim_{x \to 0} 1 = 1$ poiché y=1 è costante, e la funzione non dipende da x.

Quindi, $$1 \leq \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \leq 1$$ Ovvero $$\lim_{x \to 1} \frac{\sin x}{x} = 1$$

c.v.d.