Dimostrazione del Teorema del confronto (o dei carabinieri) - Analisi Matematica

Tesi

$\textit{Date tre funzioni, } f(x), g(x) \textit{ e } h(x), \textit{ tali che } g(x) \leq h(x) \leq f(x) \textit{ ed essendo, per } \lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}}g(x)$
$\textit{ allora } \lim_{x \to x_{0}}h(x)=l$

Esempio

In questo piano cartesiano sono rappresentate tre funzioni f(x), h(x), g(x).

Come potete osservare si ha che g(x) Ora g(x) e f(x) hanno un limite in comune nel punto C.
Il teorema del confronto afferma che anche h(x) ha il medesimo limite nel punto C.

Dimostrazione

La dimostrazione avviene ponendo i limiti delle due funzioni esterne, f(x) e g(x), uguale ad un limite $l$ e calcolando il relativo intorno. Poi si intersecano i due intorni ottenuti e si riprende la relazione iniziale tra le tre funzioni. Si nota che la funzione centrale è compresa tra le medesime estremità delle altre due funzioni, quindi ha il medesimo limite.

1. Supponiamo $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=l\wedge \lim_{x \to x_{0}}g(x)=l$
   
   
2. Quindi, per la definizione di limite, si avranno due intorni di $x_0$
   
   
   $\exists I_{x0}$ tale che $\forall x\in I_{x0} \left | f(x)-l \right |< \varepsilon$
   $\exists I'_{x0}$ tale che $\forall x\in I'_{x0} \left | f(x)-l \right |< \varepsilon$
   
   
3. Adesso si consideri l’intorno $I'' = I\bigcap I'$
   
   
4. Essendo in I’’ i valori che soddisfano entrambi i limiti, deve valere che $$l-\varepsilon < f(x) < l+ \varepsilon$$ $$l-\varepsilon < g(x) < l+ \varepsilon$$
   
   
5. E quindi, per la 1. $$l-\varepsilon < f(x) \leq h(x)\leq g(x)< l+ \varepsilon$$
   
   
6. Riguardiamo bene:
   
   $l- \varepsilon <$ $f(x) \leq$$h(x)$ $\leq g(x)$ $< l+ \varepsilon$
   
   
7. Quindi:
   $$\lim_{x \to x_0}h(x)=l$$ c.v.d.