Teorema della media integrale - Spiegazione

Introduzione

Abbiamo introdotto l’integrale definito tra a e b di f(x) come la sommatoria dell’area degli infiniti rettangoli sotto il grafico della funzione, e l’abbiamo indicata con $\int_{a}^{b} f(x)dx$. Il teorema che andremo a dimostrare afferma una proposizione importante: l’area ottenuta sommando tutti i rettangoli è uguale a quella di un particolare rettangolo, che ha per base l’intervallo [a,b] e per altezza un punto particolare della funzione.

Tesi

$$\textit{Se f(x) continua su }[a,b]\Rightarrow \exists \alpha \in [a,b] \textit{ tale che }\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\alpha)(b-a)$$ Il Teorema del valor medio afferma che l’l’area al di sotto di un grafico di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b],
comunemente chiamato integrale da a a b di f(x)
è uguale all’area di un rettangolo che ha per base l’intervallo scelto e per altezza un punto della funzione che appartiene a quell’intervallo.

Esempio

Consideriamo la funzione:
$y=\frac{1}{3}x^{2}$, si tratta di una parabola rivolta verso l’alto, e vogliamo calcolare il valore dell’area del sottografico compreso tra 0 e 3.
Il risultato, dopo qualche calcolo, risulta essere 3.

Il Teorema del valore medio ci dice che quest’area è uguale a quella di un rettangolo che ha per base l’intervallo considerato (3-0=3) e per altezza un punto $\alpha$ della funzione che è compreso in quell’intervallo. In questo caso il punto $\alpha$(√3 , 1).

Il rettangolo arancione e l’area del sottografico grigia sono equivalenti. Lo afferma il teorema del valor medio.

Dimostrazione

Consideriamo una generica funzione $y=f(x)$ continua nell’intervallo [a,b].
Per il Teorema di Weierstrass (Link) la funzione ammette sicuramente un massimo e un minimo in questo intervallo.

Adesso, dividiamo la funzione in tanti sottointervalli. Se n è il numero di sottintervalli nei quali è diviso lintervallo [a,b] l’ampiezza di ogni sottointervallo sarà di: $h= \frac{b-a}{n}$.

Il disegno mostra i rettangoli ottenuti dalla suddivisione dell’intervallo [0,3] in 11 sottointervalli, di ampiezza 11/3.
Adesso,per il Teorema di Weierstrass, ogni sottointervallo ammetterà un massimo relativo M_i ed un minimo m_i, la cui relazione sarà:

$$m\leq m_{i} \leq M_{i} \leq M \textit{ con i = 1,2,...,n}$$ intendendo con $M_{i}$ e $m_{i}$ i massimi e minimi relativi di ogni sottointervallo.

Adesso, moltiplichiamo per h ogni membro della relazione. h è un numero positivo, quindi non occorre cambiare di verso ai segni. Quindi:

$$h \ast m\leq h \ast m_{i} \leq h \ast M_{i} \leq h \ast M \textit{ con i = 1,2,...,n}$$ Ovvero:
$h\ast m\leq h\ast m_{1} \leq h\ast M_{1} \leq h\ast M$
$h\ast m\leq h\ast m_{2} \leq h\ast M_{2} \leq h\ast M$
$h\ast m\leq h\ast m_{3} \leq h\ast M_{3} \leq h\ast M$
...
$h\ast m\leq h\ast m_{n} \leq h\ast M_{n} \leq h\ast M$
Adesso sommando membro a membro, otteniamo: $$n\ast h \ast m \leq \sum_{i=1}^{n} h\ast m_{i} \leq \sum_{i=1}^{n} h\ast M_{i} \leq n\ast h\ast M$$ Il primo e l’ultimo membro non sono che i soliti membri ripetuti $n$ volte, mentre per i due termini centrali è necessaria la sommatoria. Notate che questi due termini esprimono rispettivamente la somma delle aree dei rettangoli che stanno sotto la funzione e la somma delle aree dei rettangoli ottenuti utilizzando il punto di massimo di ogni intervallo.

Per le considerazioni fatte sugli integrali, entrambe queste sommatorie convergono, per $n\rightarrow \infty$ ad un limite comune, e questo limite è proprio il valore dell’area sottesa al grafico della funzione, ovvero a $\int_{a}^{b}f(x)dx$.
Sostituiamo ad h la relazione prima espressa, $h=\frac{b-a}{n}$

$$(b-a) \ast m \leq \sum_{i=1}^{n} h\ast m_{i} \leq \sum_{i=1}^{n} h\ast M_{i} \leq (b-a)\ast M$$

Passiamo quindi ai limiti

$$\lim_{n \to \infty } (b-a) \ast m \leq \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} h\ast m_{i} \leq \lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} h\ast M_{i} \leq \lim_{n \to \infty } (b-a)\ast M$$ Adesso:
•Il primo termine al tendere di $\lim_{n \to \infty }$, rimane così com’è, visto che non contiene la variabile n.
•Il secondo termine al tendere di $\lim_{n \to \infty }$, diventa, per le considerazioni espresse prima, $\int_{a}^{b}f(x)dx$
•Il terzo termine al tendere di $\lim_{n \to \infty }$, diventa, per le considerazioni espresse prima, $\int_{a}^{b}f(x)dx$ (e quindi, poiché è uguale al secondo, può essere tralasciato)
•Il quarto termine al tendere di $\lim_{n \to \infty }$, rimane così com’è, visto che non contiene la variabile n.

Riscriviamo quindi la relazione:

$$m(b-a) \leq \int^{b}_{a}f(x)dx \leq M(b-a)$$ Questo risultato è importante, perché ci dice che $\int^{b}_{a}f(x)dx$ è compreso tra m(b-a) e M(b-a), ovvero esisterà un numero, compreso tra m ed M, che, moltiplicato a (b-a), esprime il valore dell’integrale.

Per il Teorema di Darbot una funzione continua ammette tutti i valori tra il suo minimo e il suo massimo.
Esisterà quindi un punto $\alpha$ tale che

$$f(\alpha ) \ast (b-a) = \int^{b}_{a}f(x)dx$$

c.v.d.