Dimostrazione del Teorema fondamentale del calcolo integrale - Analisi Matematica

Tesi

Se la funzione $f(x)$ è continua in [a;b], la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile e $\forall x \in [a;b]$ risulta

$$F'(x)=f(x)$$

Spiegazione

Abbiamo definito la funzione integrale come

$$\int_{a}^{x}f(x)dx$$ ricordando come fosse la x dell'estremo superiore dellintegrale ad essere la variabile indipendente della funzione (tant’è che, per non creare confusione con i nomi delle variabili, avevamo scritto la forma equivalente, $\int_{a}^{x}f(t)dt$.

La funzione associa, ad ogni x, la somma delle aree degli infiniti rettangoli sotto f(t) e avevamo dedotto che, se $f(t) \geq 0 \forall x \in [a;b]$ allora la funzione associa, ad ogni x, l’area sotto il grafico della funzione, da a a x.

Adesso vogliamo dimostrare un importante teorema: la derivata della funzione integrale $\int_{a}^{x}f(t)dt$ è la funzione integranda f(t).

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema, consideriamo $x \in [a;b]$ e diamo ad x un incremento h, tale che $x+h \in [a;b]$

Il rapporto incrementale è quindi

$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$$ Il numeratore può essere espresso quindi $$\frac{\int_{a}^{x+h} f(x)dx - \int_{a}^{x} f(x)dx}{h}$$ Adesso, l’integrale $\int_{a}^{x+h}$ può essere espresso come $\int_{a}^{x} + \int_{x}^{x+h}$: si tratta infatti di aree e possono essere sommate (figura). $$\frac{\int_{a}^{x} f(x)dx + \int_{x}^{x+h} f(x)dx -\int_{a}^{x} f(x)dx}{h}$$ Quindi, semplificando, $$\frac{\int_{x}^{x+h}f(x)dx}{h}$$

Applicando al numeratore il teorema della media possiamo affermare che esiste
un punto c appartenente all’intervallo $[x;x+h]$ per cui

$$\frac{(x+h-x)f(c)}{h}$$ $$\frac{(h)f(c)}{h}$$ La derivata altro non è il limite del rapporto incrementale con h che tende a zero.
$$F'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(h)f(c)}{h} \textit{ con c } \in [x;x+h]$$ Ovvero, semplificando h $$F'(x)=\lim_{h \to 0} f(c) = f(c) \textit{ con c } \in [x;x+h]$$ Essendo per definizione $x \leq c \leq c+h$ se $h\to 0$ allora $c \to x$ [intuitivamente poiché l’intervallo nel quale può stare c si restringe sempre di più, rigorosamente facendo riferimento al Teorema dei carabinieri]

Quindi $$F'(x)=\lim_{h \to 0} f(c) = f(x)$$ che è quello che volevamo dimostrare.