Mathematikoi

Definizione

Si dice progressione aritmetica una successione di numeri tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.

Per indicare i termini di una progressione aritmetica si usa per ognuno una lettera con un indice \(a_{1}, a_{2} ... a_{n}\)
Per indicare che i termini sono in progressione, si utilizza il simbolo \(\div\)
La differenza costante si chiama ragione della progressione, e si indica con la lettera d $$a_{n}-a_{n-1}=d$$ Quindi, se la ragione Ŕ positiva la progressione sarÓ crescente, come in questo caso di ragione 2: $$\div 1,3,5,7,9,11,13,15...$$ Se la ragione Ŕ negativa la progressione sarÓ decrescente come in questo caso di ragione -3: $$\div 5,2,-1,-4,-7,-10,-13,-16...$$

Termine generale dato \(a_{1}\)

In una progressione aritmetica di ragione d il valore di un generico termine \(a_{n}\) Ŕ dato dalla formula $$a_{n}=a_{1}(n-1)d$$

Esempio

Consideriamo la progressione aritmetica che inizia con \(a_{1}=5\) e di ragione 3: $$\div 5,8,11...$$ Per trovare il centesimo termine \(a_{100}\) si applica la formula $$a_{100}=5(100-1)=495$$

Dimostrazione della formula del termine generale

Una volta stabilito \(a_{1}\), per definizione abbiamo \(a_{2}=a_{1}+d\) \(a_{3}=a_{2}+d\) ... \(a_{n}=a_{n-1}+d\)

Se sommiamo membro a membro le uguaglianze (notate che sono in totale n-1) abbiamo: $$a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+a_{n}=a_{1}+d+a_{2}+d+a_{3}+d+...+a_{n-1}+d$$ Abbiamo ovviamente tante d quante sono le uguaglianze (infatti abbiamo una d per ogni uguaglianza), ovvero (n-1)d.
Semplificando i termini che compaiono sia a destra che a sinistra, otteniamo: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$ c.v.d.

Termine generale di una progressione aritmetica

Abbiamo visto che, se conosciamo \(a_{1}\) e la ragione \(d\) possiamo ricavare il termine generale \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\).
Osserviamo adesso che questa relazione utilizza quattro numeri: \(a_{n}, a_{1}, n, d\)
Se indichiamo con \(a_{r}\) e con \(a_{s}\) due termini generici della progressione, abbiamo quindi: $$a_{r}=a_{1}+(r-1)d$$ $$a_{s}=a_{1}+(s-1)d$$ Sottraendo membro a membro, si ottiene ancora una relazione vera, quindi: $$a_{r}-a_{s}=a_{1}+(r-1)d-a_{1}-(s-1)d$$ $$a_{r}-a_{s}=rd-d-sd+d$$ $$a_{r}-a_{s}=(r-s)d$$ Dalla quale riordinando si ottiene la formula generale per il termine generale di una progressione aritmetica dati due termini della progressione qualsiasi e la ragione: $$a_{r}=a_{s}+(r-s)d$$

Esempio

Sapendo che \(a_{9}=22\) e la ragione \(d=11\), calcolare \(a_{100}\) $$a_{100}=a_{9}+(100-9)d$$ $$a_{100}=22+91 \cdot 11 = 1023$$

Somma dei termini nelle progressioni finite

Nelle progressioni aritmetiche finite, vale un’importante proprietÓ, di cui forse non vi siete accorti:

La somma dei termini equidistanti dagli estremi Ŕ costante
Riprendiamo i primi 10 termini della progressione che abbiamo considerato prima $$\div 1,3,5,7,9,11,13,15$$ e verifichiamo questa proprietÓ: $$1+15=16$$ $$2+13=16$$ $$5+11=16$$ $$7+9=16$$ ...

Un’altra interessante proprietÓ Ŕ la seguente: La somma dei termini Ŕ uguale al prodotto della semisomma degli estremi per il numero dei termini

Ovvero, in formule $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n$$

Dimostrazione

Consideriamo la progressione $$ \div a_{1}, a{2}, ... a_{n}$$ Indichiamo con \(S_{n}\) la somma degli n termini, ovvero \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+...a_{n-1}+a_{n}\)

Per la proprietÓ commutativa possiamo scrivere \(S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+...+a_{2}+a_{1}\)

Sommiamo membro a membro e otteniamo $$2S_{n}=a_{1}+a_{n}+a_{2}+a_{n-1}+..+a_{n-1}+a_{2}+a_{n}+a_{1}$$ Raggruppando un po’: $$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+..+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$$ Adesso, le espressioni dentro le parentesi, per il teorema che abbiamo dimostrato prima sono tutte uguali: infatti sono o la somma degli estremi ( (\a_{1}+a_{n}1\) ) o la somma di termini equidistanti dagli estremi ( \(a_{2}+a_{n-1}\) ) : sono perci˛ tutti costanti e il loro valore Ŕ \(a_{1}+a_{n}\)

Quindi possiamo riscrivere tutta l’espressione con $$2S_{n}=(a_{1}+a_{n}) \cdot n$$ Da cui $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n$$

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