Mathematikoi

Tesi

Se \(\exists \lim_{x \to x_0}f(x)=l\) allora tale limite è unico.

Esempio

Mettiamo che la funzione \(f(x)\) per x tendente a 5 abbia come limite 10. Ecco.
Dieci è l’unico limite di quella funzione quando la x tende a 5. Semplice no?



\(y=\frac{x^2 - 25}{x - 5}\) Se una funzione in un punto ammette un limite, allora tale limite è unico

Dimostrazione

La dimostrazione si fa per assurdo. Si inizia assumendo che esistano due limiti \(l\) e \(l’\) ovviamente diversi tra loro e che risolvano entrambi la definizione di limite di una funzione nel medesimo punto.

Con lo svolgere dei calcoli si arriva ad una conclusione assurda: epsilon, che avevamo imposto minore della differenza tra \(l\) e \(l’\) (in valore assoluto, per evitare valori negativi) è, alla fine dei calcoli, maggiore!

  1. Per assurdo si supponga che esista \(l\) e \(l’\) con \(l \not \ne l’\)
    E si scelga \(\varepsilon < \ \left | l - l' \right | \)

  2. Quindi, per la definizione di limite, si avranno due intorni di \(x_0\)

    \(\exists I_{x0}\) tale che \(\forall x\in I_{x0} \left | f(x)-l \right |< \varepsilon\)
    \(\exists I'_{x0}\) tale che \(\forall x\in I'_{x0} \left | f(x)-l' \right |< \varepsilon\)

  3. Ora, poiché le condizioni espresse nella 2. devono valere per ogni epsilon maggiore di zero, e questo epsilon dev’essere piccolo a piacere, possiamo considerare un valore di epsilon ancora più piccolo: \(\frac{\varepsilon}{2}\)

    \(\exists I_{x0}\) tale che \(\forall x \in I_{x0} \left | f(x) - l \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}\)
    \(\exists I'_{x0}\) tale che \(\forall x \in I'_{x0} \left | f(x) - l' \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}\)

  4. Adesso si consideri l’intorno \(I'' = I\bigcap I'\)
    deve valere che $$\forall x \in I''_{x0} \left | f(x) - l \right | < \ \frac{\varepsilon}{2} \land \left | f(x) - l' \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}$$

  5. Adesso riscriviamo \(\left | l - l' \right | \) come $$\left | l - f(x) + f(x) l' \right |$$

  6. Quindi $$\left | l - l' \right | = \left | l - f(x) + f(x) l' \right |$$

    Ricordiamo il teorema del valore assoluto: |a+b|≤|a|+|b| e applichiamolo

  7. \(\left | l - l' \right | = \left | (l - f(x) ) + (f(x) - l' ) \right | \leq \left | l - f(x) \right | + \left | f(x) - l' \right |\)

  8. Ma la 2. afferma che \(\left | f(x) - l \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}\) e anche \(\left | f(x) - l' \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}\), è quindi lecito scrivere $$\left | l - l' \right | = \left | (l - f(x) ) + (f(x) - l' ) \right | \leq \left | l - f(x) \right | + \left | f(x) - l' \right | \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}$$
  9. Ovvero, sommando epsilon mezzi e epsilon mezzi: $$\left | l - l' \right | = \left | (l - f(x) ) + (f(x) - l' ) \right | \leq \left | l - f(x) \right | + \left | f(x) - l' \right | \leq \varepsilon$$
  10. Riguardiamo meglio:

    \(\left | l - l' \right |=\) \(\left | (l - f(x) ) + (f(x) - l' ) \right | \leq \left | l - f(x) \right | + \left | f(x) - l' \right |\) \(\leq \varepsilon\)

    Ma ciò è assurdo perché avevamo imposto, al punto 1. che \(\varepsilon < \ \left | l - l' \right | \)

    c.v.d.

Domande:

  1. Perché hai usato epsilon mezzi?

    - La definizione di limite impone di usare un epsilon qualsiasi purché sia maggiore di zero e piccolo a piacere. Usando \(\frac{\varepsilon}{2}\) troviamo l’assurdità della 10. Notate che avremmo potuto prendere qualsiasi valore di epsilon più piccolo di \(\frac{\varepsilon}{2}\).

  2. Perché al passaggio 5 hai aggiunto e poi tolto una funzione?

    - Aggiungere e poi togliere qualcosa la medesima quantità lascia completamente invariato quanto scritto prima. Fai un esempio: 5=3+2, ma anche 5=3 +9-9 +2.
  3. Perché al punto 8 hai scritto due volte \(\frac{\varepsilon}{2}\) ?

    - Perché stavamo sommando due cose (due valori assoluti) che avevamo detto essere minori di altre. Se dico che 3<7 e che 5<7, allora 3+5<7+7, giusto?



Mathematikoi ha uno strumento per calcolare gli asintoti obliqui.

Può interessarti: è gratis.

Calcola gli asintoti!.