Elementi di analisi: gli asintoti obliqui - Spiegazione

Definizione

Sia f(x) una funzione continua e t una generica retta, si dice che t è asintoto obliquo di f(x) se, per $x \to \infty$ la distanza tra la funzione e la retta tende a zero, ovvero -applicando la definizione di distanza di un punto da una retta- se

$$\lim_{x \to \infty }\frac{|f(x)-mx-q|}{\sqrt{1+m^{2}}}=0$$

Esempio

Nel grafico raffigurato, la funzione
$y=\frac{x^{2}+3x-1}{x+1}$ verso l'infinito, si avvicina sempre di più alla retta di equazione $y=x+2$, ovvero la distanza PH tende a zero.
Si dice che la retta è asintoto obliquo della funzione.

Ricerca dell'asintoto obliquo

La ricerca dell'asintoto obliquo si fa esclusivamente quando la funzione, tendente a infnito, ha un limite infinito, ovvero se e soltanto se

$$\lim_{x \to \infty }f(x)= \infty$$ In questo caso, potrebbero esserci infatti asintoti obliqui nella forma y=mx+q.

Il nostro scopo, adesso, è quello di cercare, se esistono, i valori di m e q.

La ricerca del coefficiente angolare m

Per calcolare il coefficiente angolare riprendiamo al relazione

$$\lim_{x \to \infty }\frac{|f(x)-mx-q|}{\sqrt{1+m^{2}}}=0$$ Adesso, poiché $$\sqrt{1+m^{2}}$$ è un numero, può essere facilmente eliminato: il limite di una frazione, con denominatore $\neq 0$, è zero infatti quando il numeratore è zero. Con questa premessa, possiamo togliere anche il valore assoluto, visto che non si tratta di una quantità negativa.

Possiamo riscrivere, senza perdere di generalità

$$\lim_{x \to \infty }f(x)-mx-q=0$$ Adesso, se è vera questa equazione, a maggior ragione è vera questa (infatti $\frac{0}{\infty}=0$ ) $$\lim_{x \to \infty }\frac{f(x)-mx-q}{x}=0$$ Abbiamo quindi potuto dividere per x senza problemi, lasciando l'uguaglianza vera.
Adesso distribuiamo il denominatore
$$\lim_{x \to \infty}(\frac{f(x)}{x}-m-\frac{q}{x})=0$$ Da cui, essendo $\lim_{x \to \infty}(m)=m$ e $\lim_{x \to \infty}\frac{q}{x}=0$, si deduce che: $$\lim_{x \to \infty}(\frac{f(x)}{x}-m)=0$$ Ovvero, $$m= \lim_{x \to \infty}(\frac{f(x)}{x})=0$$

Calcolo di q

Per calcolare q utilizziamo la relazione ricavata in precedenza:

$$\lim_{x \to \infty }f(x)-mx-q=0$$ Poiché $$\lim_{x \to \infty }q=q$$ ossiamo riscrivere la relazione come $$\lim_{x \to \infty }f(x)-mx=q$$ che è la formula che volevamo trovare.

Riepilogo

Se esistono finiti i limiti

$$m= \lim_{x \to \infty}(\frac{f(x)}{x})=0$$ $$q=\lim_{x \to \infty }f(x)-mx=q$$ e $m \neq 0$ allora y=mx+q è asintoto obliquo della funzione f(x).