Le disequazioni fratte - Spiegazione

Definizione

Una disequazione fratta è una disequazione che presenta almeno un’ incognita al denominatore. Per esempio
$$\frac{3x-6}{2-x} > 0 \textit{ e } \frac{1}{x+2} < 0$$ sono disequazioni fratte.

Per la risoluzione

1. Occorre porre le condizioni di esistenza: il denominatore infatti dev’essere sempre diverso da zero.
   Quindi, dobbiamo porre 2-x ≠ 0
   
   
2. Adesso ci chiediamo la positività del numeratore e del denominatore.
   Una disequazione fratta infatti è positiva sia se numeratore e denominatore sono entrambi positivi, sia se sono entrambi negativi.
   
   Una disequazione fratta è negativa se il numeratore e il denominatore sono uno positivo e l’altro
   negativo.
   
   
3. Quindi ci chiediamo quando il numeratore è positivo ponendo
   3x-3 > 0
   x > 1
   
   
4. Quindi ci chiediamo quando il denominatore è positivo ponendo
   2-x > 0
   x < 2
   
   Quindi, il numeratore è positivo per le x maggiori di 1 e il denominatore per le x minori di due.
   La regola ci dice di guardare quando sono entrambi positivi o entrambi negativi.
   Per fare ciò "uniamo" i due schemi:
   Questo schema mostra i segni del numeratore e del denominatore:
   vediamo che sono entrambi positivi (e quindi la disequazione fratta è maggiore di zero) solo quando le x sono comprese tra 1 e 2 (due escluso). In tutti gli altri casi il risultato della disequazione è negativo.
   Poiché noi cercavamo le soluzioni maggiori di zero, ovvero positive,
   $$\frac{3x-6}{2-x} > 0$$ diciamo che il risultato è "ogni x compresa tra uno e due, due escluso" .
   In termini matematici $$1\leq x < 2$$
   

N.Bene: Se la disequazione fosse stata minore di zero, $$\frac{1}{x+2} <0$$ avremmo fatto comunque il test di positività a numeratore e denominatore e poi avremmo preso quelle parti del grafico nel quale i due segni sono discordi (uno più e l’ meno).

Esempio:
x+2 ≠ 0 , x ≠ -2

Test di positività del numeratore:
1>0 [sempre verificato: il numeratore è sempre positivo]


Adesso, poiché la disequazione fratta dev’ negativa
$$\frac{1}{x+2} <0$$ consideriamo quelle parti di grafico nel quale i segni sono discordi (uno positivo e uno negativo): questa parte di grafico è quella prima di -2.

La soluzione è quindi $$x < -2$$