La divisione tra polinomi - Spiegazione

Definizione

Dati due polinomi N(x) e d(x) si definisce l'operazione di divisione per cui

$$N(x) = d(x) \cdot Q(x) + R(x)$$ che è del tutto analoga a quella già vista per i numeri naturali e per la quale $$\frac{7}{3} = 2 \textit{ resto 1}$$ poiché $$7 = ( 3 \cdot 2 ) + 1$$

Come dividere un polinomio per un altro

Dati due polinomi N(x)= 8x - 9x² + 6x³ e d(x)= 3x + 2x² - 1, per effettuare la divisione è necessario:

• Ordinare i polinomi secondo le potenze della variabile, dal più alto al più basso

N(x)= 6x³ - 9x² + 8x
d(x)= 2x² + 3x -1


• Scrivere i polinomi in una griglia come questa



• Dividere il primo membro di N(x) per il primo membro di d(x) e scrivere il risultato sotto (6x³/2x² = 3x)



• Moltiplicare il risultato ottenuto per TUTTI I MEMBRI di d(x) e scrivere i risultati sotto N(x)



• Sottrarre a D(x) il polinomio ottenuto (questo risultato, -18x²+11x si chiama resto parziale)



• Considerare il resto parziale come nuovo dividendo e quindi dividere nuovamente il primo termine (ovviamente lo zero non conta) per il primo termine di d(x) come avevamo fatto prima



• Moltiplicare il risultato ottenuto per TUTTI I MEMBRI di d(x) e scrivere i risultati sotto N(x) come avevamo fatto prima



• Poiché il primo termine del resto (-16x) ha grado minore rispetto al primo termine del divisore (2x²), la divisione è conclusa:

Q(x)=3x-9
R(x)=-16x+9

Ovvero

$$\frac{6x^3 - 9x^2 + 8x}{2x^2 + 3x -1}= 3x-9 \textit{ resto } -16x + 9$$ Oppure, riprendendo la definizione di divisione che abbiamo riportato ad inizio paragrafo: $$6x^3 - 9x^2 + 8x = (2x^2 + 3x -1) \cdot (3x-9) - 16x + 9$$