Le equazioni trigonometriche omogenee in seno e coseno - Spiegazione

Definizione

Un’equazione omogenea in seno e coseno si presenta nella forma

$$a\sin(x)+b\cos(x)=0 \textit{ con a e b} \neq 0$$

Risoluzione

Per risolvere quest’equazione possiamo dividere il membro di destra e quello di sinistra per cos(x):

$$\frac{a\sin(x)+b\cos(x)}{\cos(x)}=\frac{0}{\cos(x)}$$ si noti che è sempre possibile dividere per cos(x) perché questo non è mai uguale a zero.
Infatti se fosse cos(x)=0, sarebbe allora sin(x)=1 e l’equazione verrebbe
$a\cdot 1+0=0\rightarrow a=0$ che è assurdo per ipotesi.

Distribuendo il denominatore abbiamo:

$$a\frac{sin(x)}{\cos(x)}+b\frac{\cos(x)}{\cos(x)}=0$$ Da cui, semplificando,
$$a\tan(x)+b=0$$ che è un’equazione in una incognita e perciò risolvibile:
$$\tan(x)=-\frac{b}{a}$$ A questo punto abbiamo trovato che tan(x) è uguale a -b/a, per trovare x, che è quella che ci interessa calcoliamo la funzione inversa della tangente (sulla calcolatrice ha il simbolo tan^-1)
$$x=\tan^{-1}(-\frac{b}{a})$$

Esempio

$$3\sin(x)-\sqrt3 \cos(x)=0$$ si divide per coseno: $$3\tan(x)-\sqrt3 =0$$ si porta radice di tre a destra e si divide per 3: $$\tan(x)=\frac{\sqrt3}{3}$$ Calcoliamo x come la funzione inversa della tangente: $$x=\tan^{-1}(\frac{\sqrt3}{3})=30+k180$$ (nella soluzione è espresso il periodo, k180, poiché la tangente si ripete ogni 180 gradi).