Notice: getimagesize(): read of 8192 bytes failed with errno=21 Is a directory in /home/pussy/public_html/satelliti/_shared_opencart_files/app/controller/category/article.php on line 90Notice: getimagesize(): Read error! in /home/pussy/public_html/satelliti/_shared_opencart_files/app/controller/category/article.php on line 90 Progressione geometrica e aritmetica | Spiegazione on line

Le progressioni aritmetiche - Spiegazione

Tra tutte le successioni di numeri, ce ne sono alcune particolarmente interessanti. Vengono chiamate progressioni. Si dividono in aritmetiche e geometriche e coinvolgono rispettivamente le operazioni di somma e di moltiplicazione. La loro importanza deriva da campi anche esterni alla matematica: infatti, sono utili per rappresentare diversi fenomeni fisici e biologici.

Definizione

Si dice progressione aritmetica una successione di numeri tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.

Per indicare i termini di una progressione aritmetica si usa per ognuno una lettera con un indice a1,a2...an" role="presentation">a1,a2...an
Per indicare che i termini sono in progressione, si utilizza il simbolo ÷" role="presentation" style="position: relative;">÷
La differenza costante si chiama ragione della progressione, e si indica con la lettera d

anan1=d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">anan1=d
Quindi, se la ragione è positiva la progressione sarà crescente, come in questo caso di ragione 2:
÷1,3,5,7,9,11,13,15..." role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷1,3,5,7,9,11,13,15...
Se la ragione è negativa la progressione sarà decrescente come in questo caso di ragione -3:
÷5,2,1,4,7,10,13,16..." role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷5,2,1,4,7,10,13,16...

Termine generale dato a1" role="presentation" style="position: relative;">a1

In una progressione aritmetica di ragione d il valore di un generico termine an" role="presentation" style="position: relative;">an è dato dalla formula

an=a1(n1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">an=a1(n1)d

Esempio

Consideriamo la progressione aritmetica che inizia con a1=5" role="presentation" style="position: relative;">a1=5 e di ragione 3:

÷5,8,11..." role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷5,8,11...
Per trovare il centesimo termine a100" role="presentation" style="position: relative;">a100 si applica la formula
a100=5(1001)=495" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">a100=5(1001)=495

Dimostrazione della formula del termine generale

Una volta stabilito a1" role="presentation" style="position: relative;">a1, per definizione abbiamo a2=a1+d" role="presentation" style="position: relative;">a2=a1+d a3=a2+d" role="presentation" style="position: relative;">a3=a2+d ... an=an1+d" role="presentation" style="position: relative;">an=an1+d

Se sommiamo membro a membro le uguaglianze (notate che sono in totale n-1) abbiamo:

a2+a3+...+an1+an=a1+d+a2+d+a3+d+...+an1+d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">a2+a3+...+an1+an=a1+d+a2+d+a3+d+...+an1+d
Abbiamo ovviamente tante d quante sono le uguaglianze (infatti abbiamo una d per ogni uguaglianza), ovvero (n-1)d.
Semplificando i termini che compaiono sia a destra che a sinistra, otteniamo:
an=a1+(n1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">an=a1+(n1)d
c.v.d.

Termine generale di una progressione aritmetica

Abbiamo visto che, se conosciamo a1" role="presentation" style="position: relative;">a1 e la ragione d" role="presentation" style="position: relative;">d possiamo ricavare il termine generale an=a1+(n1)d" role="presentation" style="position: relative;">an=a1+(n1)d.
Osserviamo adesso che questa relazione utilizza quattro numeri: an,a1,n,d" role="presentation" style="position: relative;">an,a1,n,d
Se indichiamo con ar" role="presentation" style="position: relative;">ar e con as" role="presentation" style="position: relative;">as due termini generici della progressione, abbiamo quindi:

ar=a1+(r1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ar=a1+(r1)d
as=a1+(s1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">as=a1+(s1)d
Sottraendo membro a membro, si ottiene ancora una relazione vera, quindi:
aras=a1+(r1)da1(s1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">aras=a1+(r1)da1(s1)d
aras=rddsd+d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">aras=rddsd+d
aras=(rs)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">aras=(rs)d
Dalla quale riordinando si ottiene la formula generale per il termine generale di una progressione aritmetica dati due termini della progressione qualsiasi e la ragione:
ar=as+(rs)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ar=as+(rs)d

Esempio

Sapendo che a9=22" role="presentation" style="position: relative;">a9=22 e la ragione d=11" role="presentation" style="position: relative;">d=11, calcolare a100" role="presentation" style="position: relative;">a100

a100=a9+(1009)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">a100=a9+(1009)d
a100=22+9111=1023" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">a100=22+9111=1023

Somma dei termini nelle progressioni finite

Nelle progressioni aritmetiche finite, vale un’importante proprietà, di cui forse non vi siete accorti:

La somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante
Riprendiamo i primi 10 termini della progressione che abbiamo considerato prima

÷1,3,5,7,9,11,13,15" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷1,3,5,7,9,11,13,15
e verifichiamo questa proprietà:
1+15=16" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">1+15=16
2+13=16" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">2+13=16
5+11=16" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">5+11=16
7+9=16" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">7+9=16
...

Un’altra interessante proprietà è la seguente: La somma dei termini è uguale al prodotto della semisomma degli estremi per il numero dei termini

Ovvero, in formule
Sn=a1+an2n" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">Sn=a1+an2n

Dimostrazione

Consideriamo la progressione

÷a1,a2,...an" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷a1,a2,...an
Indichiamo con Sn" role="presentation" style="position: relative;">Sn la somma degli n termini, ovvero Sn=a1+a2+...an1+an" role="presentation" style="position: relative;">Sn=a1+a2+...an1+an

Per la proprietà commutativa possiamo scrivere Sn=an+an1+...+a2+a1" role="presentation" style="position: relative;">Sn=an+an1+...+a2+a1

Sommiamo membro a membro e otteniamo
2Sn=a1+an+a2+an1+..+an1+a2+an+a1" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">2Sn=a1+an+a2+an1+..+an1+a2+an+a1
Raggruppando un po’:
2Sn=(a1+an)+(a2+an1)+..+(an1+a2)+(an+a1)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">2Sn=(a1+an)+(a2+an1)+..+(an1+a2)+(an+a1)
Adesso, le espressioni dentro le parentesi, per il teorema che abbiamo dimostrato prima sono tutte uguali: infatti sono o la somma degli estremi ( (\a_{1}+a_{n}1\) ) o la somma di termini equidistanti dagli estremi ( a2+an1" role="presentation" style="position: relative;">a2+an1 ) : sono perciò tutti costanti e il loro valore è a1+an" role="presentation" style="position: relative;">a1+an

Quindi possiamo riscrivere tutta l’espressione con
2Sn=(a1+an)n" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">2Sn=(a1+an)n
Da cui
Sn=a1+an2n" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">Sn=a1+an2n

Data di pubblicazione: 13 April 2023

Indice delle lezioni

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