Definizione
Si dice progressione aritmetica una successione di numeri tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.
Per indicare i termini di una progressione aritmetica si usa per ognuno una lettera con un indice a1,a2...an" role="presentation">a1,a2...an
Per indicare che i termini sono in progressione, si utilizza il simbolo ÷" role="presentation" style="position: relative;">÷
La differenza costante si chiama ragione della progressione, e si indica con la lettera d
an−an−1=d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">an−an−1=d
Quindi, se la ragione è
positiva la progressione sarà
crescente, come in questo caso di ragione 2:
÷1,3,5,7,9,11,13,15..." role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷1,3,5,7,9,11,13,15...
Se la ragione è
negativa la progressione sarà
decrescente come in questo caso di ragione -3:
÷5,2,−1,−4,−7,−10,−13,−16..." role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷5,2,−1,−4,−7,−10,−13,−16...
Termine generale dato a1" role="presentation" style="position: relative;">a1
In una progressione aritmetica di ragione d il valore di un generico termine an" role="presentation" style="position: relative;">an è dato dalla formula
an=a1(n−1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">an=a1(n−1)d
Esempio
Consideriamo la progressione aritmetica che inizia con a1=5" role="presentation" style="position: relative;">a1=5 e di ragione 3:
÷5,8,11..." role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷5,8,11...
Per trovare il
centesimo termine a100" role="presentation" style="position: relative;">a100 si applica la formula
a100=5(100−1)=495" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">a100=5(100−1)=495
Dimostrazione della formula del termine generale
Una volta stabilito a1" role="presentation" style="position: relative;">a1, per definizione abbiamo a2=a1+d" role="presentation" style="position: relative;">a2=a1+d a3=a2+d" role="presentation" style="position: relative;">a3=a2+d ... an=an−1+d" role="presentation" style="position: relative;">an=an−1+d
Se sommiamo membro a membro le uguaglianze (notate che sono in totale n-1) abbiamo:
a2+a3+...+an−1+an=a1+d+a2+d+a3+d+...+an−1+d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">a2+a3+...+an−1+an=a1+d+a2+d+a3+d+...+an−1+d
Abbiamo ovviamente tante
d quante sono le uguaglianze (infatti abbiamo una d per ogni uguaglianza), ovvero (n-1)d.
Semplificando i termini che compaiono sia a destra che a sinistra, otteniamo:
an=a1+(n−1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">an=a1+(n−1)d
c.v.d.
Termine generale di una progressione aritmetica
Abbiamo visto che, se conosciamo a1" role="presentation" style="position: relative;">a1 e la ragione d" role="presentation" style="position: relative;">d possiamo ricavare il termine generale an=a1+(n−1)d" role="presentation" style="position: relative;">an=a1+(n−1)d.
Osserviamo adesso che questa relazione utilizza quattro numeri: an,a1,n,d" role="presentation" style="position: relative;">an,a1,n,d
Se indichiamo con ar" role="presentation" style="position: relative;">ar e con as" role="presentation" style="position: relative;">as due termini generici della progressione, abbiamo quindi:
ar=a1+(r−1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ar=a1+(r−1)d
as=a1+(s−1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">as=a1+(s−1)d
Sottraendo membro a membro, si ottiene ancora una relazione vera, quindi:
ar−as=a1+(r−1)d−a1−(s−1)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ar−as=a1+(r−1)d−a1−(s−1)d
ar−as=rd−d−sd+d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ar−as=rd−d−sd+d
ar−as=(r−s)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ar−as=(r−s)d
Dalla quale
riordinando si ottiene la
formula generale per il termine generale di una progressione aritmetica dati due termini della progressione
qualsiasi e la ragione:
ar=as+(r−s)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">ar=as+(r−s)d
Esempio
Sapendo che a9=22" role="presentation" style="position: relative;">a9=22 e la ragione d=11" role="presentation" style="position: relative;">d=11, calcolare a100" role="presentation" style="position: relative;">a100
a100=a9+(100−9)d" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">a100=a9+(100−9)d
a100=22+91⋅11=1023" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">a100=22+91⋅11=1023
Somma dei termini nelle progressioni finite
Nelle progressioni aritmetiche finite, vale un’importante proprietà, di cui forse non vi siete accorti:
La somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante
Riprendiamo i primi 10 termini della progressione che abbiamo considerato prima
÷1,3,5,7,9,11,13,15" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷1,3,5,7,9,11,13,15
e verifichiamo questa proprietà:
1+15=16" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">1+15=16
2+13=16" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">2+13=16
5+11=16" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">5+11=16
7+9=16" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">7+9=16
...
Un’altra interessante proprietà è la seguente:
La somma dei termini è uguale al prodotto della semisomma degli estremi per il numero dei termini
Ovvero, in formule
Sn=a1+an2⋅n" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">Sn=a1+an2⋅n
Dimostrazione
Consideriamo la progressione
÷a1,a2,...an" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">÷a1,a2,...an
Indichiamo con
Sn" role="presentation" style="position: relative;">Sn la somma degli n termini, ovvero
Sn=a1+a2+...an−1+an" role="presentation" style="position: relative;">Sn=a1+a2+...an−1+an
Per la
proprietà commutativa possiamo scrivere
Sn=an+an−1+...+a2+a1" role="presentation" style="position: relative;">Sn=an+an−1+...+a2+a1
Sommiamo membro a membro e otteniamo
2Sn=a1+an+a2+an−1+..+an−1+a2+an+a1" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">2Sn=a1+an+a2+an−1+..+an−1+a2+an+a1
Raggruppando un po’:
2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+..+(an−1+a2)+(an+a1)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+..+(an−1+a2)+(an+a1)
Adesso, le espressioni dentro le parentesi, per il teorema che abbiamo dimostrato prima sono tutte uguali: infatti sono
o la somma degli estremi ( (\a_{1}+a_{n}1\) )
o la somma di termini equidistanti dagli estremi (
a2+an−1" role="presentation" style="position: relative;">a2+an−1 ) :
sono perciò tutti costanti e il loro valore è
a1+an" role="presentation" style="position: relative;">a1+an
Quindi possiamo riscrivere tutta l’espressione con
2Sn=(a1+an)⋅n" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">2Sn=(a1+an)⋅n
Da cui
Sn=a1+an2⋅n" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">Sn=a1+an2⋅n