Dimostrazione del Teorema di permanenza del segno - Analisi Matematica

Tesi

$$\exists \lim_{x \to x_{0} }f(x)=l \wedge l\neq 0\Rightarrow \exists I_{x_{0}}\textit{per il quale } \forall x \in I_{x{0}} f(x) \textit{assume lo stesso segno di }l$$ Il teorema della permanenza del segno afferma che, se esiste il limite di una funzione e questo limite è diverso da zero, esiste un intorno della funzione dello stesso segno del limite.

Esempio

Mettiamo che la funzione f(x) per x tendente a 5 abbia come limite 1. Ecco.
Uno è positivo. Esiste almeno un intorno di 1 per il quale la funzione è positiva (sopra l’asse delle x).
$y=\frac{x^2-1}{x-1}$ Dimostrazione

Considerando $\varepsilon$ uguale al valore assoluto del limite diviso due, la dimostrazione si divide in due casi: quando $l$ è positivo e quando $l <0$:

1. Ricordandoci che $\varepsilon$ deve essere sempre positivo, supponiamo $\varepsilon = \frac{\left | l \right |}{2}$
   
2. Quindi, per la definizione di limite,
   $$\exists I_{x_{0}} \textit{tale che } \forall x \in I_{x_{0}} \left | f(x) -l \right |<\frac{\left | l \right |}{2}$$
   
3. Per la definizione di valore assoluto possiamo scrivere quindi
   $$l-\frac{\left | l \right |}{2} < f(x) < l+ \frac{\left | l \right |}{2}$$
   
4. Quindi, svolgendo i calcoli
   $$\frac{l}{2} < f(x) < \frac{3}{2}l \textit{ se } l>0$$ $$\frac{3}{2}l < f(x) < \frac{l}{2} \textit{ se } l<0$$
   
   Dalla 4. abbiamo dimostrato il teorema: se $l>0$ la funzione è maggiore di $\frac{l}{2}$, e quindi positiva,
   Se $l<0$ la funzione è minore di $\frac{l}{2}$ che, essendo $l$ un numero negativo, è una quantità negativa.

   Domande:

   Perché hai usato elle mezzi per epsilon? Ok che la definizione di limite dice di usare un valore a piacere, ma non credi che questo sia un po’ troppo grande?

   -E’ vero: la definizione di limite impone di usare un epsilon maggiore di zero "piccolo a piacere". Elle mezzi probabilmente non sarà affatto piccolo. Ma noi non stiamo calcolando il limite! Vogliamo invece dimostrare che esiste sempre un intorno di x0 per il quale la funzione assume lo stesso segno del limite.