Dimostrazione del Teorema di Lagrange - Analisi Matematica

Teorema di Rolle

$$\left.\begin{matrix} f:[a,b]\to \mathbb{R} \\ f(a)=f(b)\\ f(x) \textit{ continua [a,b]}\wedge \textit{ derivabile (a,b)}\\ \end{matrix}\right\}\exists c \in (a,b):f'(c)=0$$

Se una funzione è continua in un intervallo [a ; b] e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, e se assume valori uguali in a e b, f(a)=f(b),
allora almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata y’(c)=0.

Teorema di Lagrange

Tesi

data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo chiuso [a ; b] e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, allora esiste almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata è:

$$y'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Rappresentazione grafica

Il teorema di Lagrange: esiste un punto c nel quale la derivata (che è il coefficiente angolare della retta tangente) è uguale a f(b)-f(a)/(b-a) che rappresenta il coefficiente angolare della retta secante i due estremi.

Dimostrazione

Consideriamo la funzione

$$h(x)=f(x)-Kx$$
Per le ipotesi del teorema la funzione è continua in [a ; b] e derivabile, poiché somma di funzioni continue e derivabili.

Determiniamo K in modo che h(a)= h(b)
f(a)-Ka = f(b)-Kb
-Ka+Kb = f(b)-f(a)
K(-a+b) = f(b)-f(a)

$$K=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

La funzione risulta quindi $$h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$$ Utilizzando questo valore di K possiamo applicare il teorema di Rolle ad h(x), affermando che esiste un punto c per il quale y’(c)=0. (Riguarda il Teorema di Rolle!)

Per le regole sul calcolo della derivata, h’(x) risulta (K è una costante e la derivata di Kx è K
$$h'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Adesso si sostituisce ad x il punto c, per il quale la derivata è zero:
$$0=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Dalla quale, spostando f’(c) a sinistra e moltiplicando entrambi i termini per -1:
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

che è quello che volevamo dimostrare.

c.v.d.