Dimostrazione del Teorema di unicità del limite - Analisi Matematica

Tesi

Se $\exists \lim_{x \to x_0}f(x)=l$ allora tale limite è unico.

Esempio

Mettiamo che la funzione $f(x)$ per x tendente a 5 abbia come limite 10. Ecco.
Dieci è l’unico limite di quella funzione quando la x tende a 5. Semplice no?



$y=\frac{x^2 - 25}{x - 5}$

Dimostrazione

La dimostrazione si fa per assurdo. Si inizia assumendo che esistano due limiti $l$ e $l’$ ovviamente diversi tra loro e che risolvano entrambi la definizione di limite di una funzione nel medesimo punto.

Con lo svolgere dei calcoli si arriva ad una conclusione assurda: epsilon, che avevamo imposto minore della differenza tra $l$ e $l’$ (in valore assoluto, per evitare valori negativi) è, alla fine dei calcoli, maggiore!

1. Per assurdo si supponga che esista $l$ e $l’$ con $l \not \ne l’$
   E si scelga $\varepsilon < \ \left | l - l' \right |$
   
   
2. Quindi, per la definizione di limite, si avranno due intorni di $x_0$
   
   $\exists I_{x0}$ tale che $\forall x\in I_{x0} \left | f(x)-l \right |< \varepsilon$
   $\exists I'_{x0}$ tale che $\forall x\in I'_{x0} \left | f(x)-l' \right |< \varepsilon$
   
   
3. Ora, poiché le condizioni espresse nella 2. devono valere per ogni epsilon maggiore di zero, e questo epsilon dev’essere piccolo a piacere, possiamo considerare un valore di epsilon ancora più piccolo: $\frac{\varepsilon}{2}$
   
   $\exists I_{x0}$ tale che $\forall x \in I_{x0} \left | f(x) - l \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}$
   $\exists I'_{x0}$ tale che $\forall x \in I'_{x0} \left | f(x) - l' \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}$
   
   
4. Adesso si consideri l’intorno $I'' = I\bigcap I'$
   deve valere che $$\forall x \in I''_{x0} \left | f(x) - l \right | < \ \frac{\varepsilon}{2} \land \left | f(x) - l' \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}$$
   
   
5. Adesso riscriviamo $\left | l - l' \right |$ come $$\left | l - f(x) + f(x) l' \right |$$
   
   
6. Quindi $$\left | l - l' \right | = \left | l - f(x) + f(x) l' \right |$$
   
   Ricordiamo il teorema del valore assoluto: |a+b|≤|a|+|b| e applichiamolo
   
   
7. $\left | l - l' \right | = \left | (l - f(x) ) + (f(x) - l' ) \right | \leq \left | l - f(x) \right | + \left | f(x) - l' \right |$
   
   
8. Ma la 2. afferma che $\left | f(x) - l \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}$ e anche $\left | f(x) - l' \right | < \ \frac{\varepsilon}{2}$, è quindi lecito scrivere $$\left | l - l' \right | = \left | (l - f(x) ) + (f(x) - l' ) \right | \leq \left | l - f(x) \right | + \left | f(x) - l' \right | \leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}$$
9. Ovvero, sommando epsilon mezzi e epsilon mezzi: $$\left | l - l' \right | = \left | (l - f(x) ) + (f(x) - l' ) \right | \leq \left | l - f(x) \right | + \left | f(x) - l' \right | \leq \varepsilon$$
   
10. Riguardiamo meglio:
    
    $\left | l - l' \right |=$ $\left | (l - f(x) ) + (f(x) - l' ) \right | \leq \left | l - f(x) \right | + \left | f(x) - l' \right |$ $\leq \varepsilon$
    
    Ma ciò è assurdo perché avevamo imposto, al punto 1. che $\varepsilon < \ \left | l - l' \right |$
    
    c.v.d.

Domande:

1. Perché hai usato epsilon mezzi?

   - La definizione di limite impone di usare un epsilon qualsiasi purché sia maggiore di zero e piccolo a piacere. Usando $\frac{\varepsilon}{2}$ troviamo l’assurdità della 10. Notate che avremmo potuto prendere qualsiasi valore di epsilon più piccolo di $\frac{\varepsilon}{2}$.
   

2. Perché al passaggio 5 hai aggiunto e poi tolto una funzione?

   - Aggiungere e poi togliere qualcosa la medesima quantità lascia completamente invariato quanto scritto prima. Fai un esempio: 5=3+2, ma anche 5=3 +9-9 +2.

3. Perché al punto 8 hai scritto due volte $\frac{\varepsilon}{2}$ ?

   - Perché stavamo sommando due cose (due valori assoluti) che avevamo detto essere minori di altre. Se dico che 3<7 e che 5<7, allora 3+5<7+7, giusto?